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Probabilités

Données et probabilités Cours de mathématiques de CM2 (cours moyen 2e année) · chapitre 9 · Issues et évènements · a chances sur b · Le hasard n'a pas de mémoire · Expériences en deux étapes : arbre et tableau

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Issues et évènements

Définition

Lors d'une expérience aléatoire, les issues sont tous les résultats possibles. Un évènement est réalisé par une ou plusieurs issues.

On lance un dé à 6 faces :

les issues sont 1, 2, 3, 4, 5, 6 ;
l'évènement « obtenir un nombre pair » est réalisé par les issues 2, 4 et 6.

a chances sur b

Règle

Quand toutes les issues ont la même chance de sortir (on dit qu'elles sont équiprobables), la probabilité d'un évènement s'exprime par « a chances sur b » :

a est le nombre d'issues qui réalisent l'évènement ;
b est le nombre total d'issues.

Avec un dé à 6 faces bien équilibré :

« obtenir 5 » : 1 chance sur 6 ;
« obtenir un nombre pair » : 3 chances sur 6 (autant que 1 chance sur 2) ;
« obtenir un nombre plus grand que 4 » (5 ou 6) : 2 chances sur 6.

Ce n'est pas parce qu'il y a deux issues que chacune a une chance sur deux ! Dans un sac de 3 billes rouges et 1 bleue, il y a deux couleurs possibles, mais on a 3 chances sur 4 de tirer une rouge et seulement 1 chance sur 4 de tirer la bleue.

Dans le sac : 3 rouges, 1 bleue.

On tire une bille au hasard, on note sa couleur, on la remet dans le sac… et on recommence.

Le hasard n'a pas de mémoire

Règle

Si on relance un dé, il « ne se souvient pas » des lancers précédents : après trois 6 de suite, on a toujours 1 chance sur 6 d'obtenir 6 au lancer suivant. On dit que les lancers sont indépendants.

Expériences en deux étapes : arbre et tableau

On lance deux fois une pièce (P = pile, F = face). L'arbre montre toutes les issues :

Il y a 4 issues : PP, PF, FP, FF.
« Obtenir une fois pile et une fois face » : PF ou FP, soit 2 chances sur 4.

On lance deux dés et on additionne. Le tableau à double entrée montre les 36 issues :

dé 1 \ dé 2	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

La somme 7 apparaît 6 fois : 6 chances sur 36.
La somme 2 n'apparaît qu'une fois : 1 chance sur 36.
Le 7 est la somme la plus probable !

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Calculer « a chances sur b »

5 + 3 + 2 = 10 billes

Chaque bille a la même chance d'être tirée : il y a 10 issues équiprobables.

Atelier : lancer deux dés

0 lancer(s) de deux dés — nombre de fois où chaque somme est sortie.

Avec beaucoup de lancers, la somme 7 sort le plus souvent : c'est ce que prévoit le tableau (6 chances sur 36).

edit Exercices et rédaction

Exercices

Exercice 1

On lance un dé à 6 faces. Donne la probabilité de chaque évènement.

obtenir 3
obtenir un nombre impair
obtenir un multiple de 3
obtenir 7

Exercice 2

Une roue a 8 secteurs égaux : 4 bleus, 3 rouges, 1 vert. Quelle couleur est la plus probable ? Donne la probabilité de chaque couleur.

Exercice 3

Lina dit : « Demain, soit il pleut, soit il ne pleut pas : il y a une chance sur deux qu'il pleuve. » A-t-elle raison ?

Exercice 4

Après 5 « face » de suite, a-t-on plus de chances d'obtenir « pile » au 6^e lancer ?

Exercice 5

On lance deux pièces. Avec un arbre, donne toutes les issues et la probabilité d'obtenir deux « face ».

Exercice 6

Avec le tableau des sommes de deux dés : probabilité d'obtenir une somme de 10 ? une somme de 12 ?

Exercice 7

Au restaurant scolaire : entrée (salade ou soupe) et dessert (fruit, yaourt ou gâteau). Combien de menus différents ? Si on choisit au hasard, quelle chance d'avoir « soupe + gâteau » ?

history_edu Un peu d'histoire

history_edu Un peu d'histoire : le problème du duc de Toscane

Vers 1620, le duc de Toscane remarque en jouant qu'avec trois dés, la somme 10 sort plus souvent que la somme 9, alors qu'il y a autant de façons de les écrire comme somme de trois nombres. Il demande l'explication au célèbre savant Galilée.

Galilée compte toutes les issues en tenant compte de l'ordre des dés (comme dans notre tableau) : 27 issues donnent 10 et seulement 25 donnent 9 sur 216. Le duc avait l'œil !

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz