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Opérations sur les nombres entiers
Nombres et calculs Cours de mathématiques de CM1 (cours moyen 1re année) · chapitre 4 · Vocabulaire des quatre opérations · L'addition posée · La soustraction posée · La multiplication posée · La division euclidienne posée
Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.
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Vocabulaire
Vocabulaire des quatre opérations
- Le résultat de l'addition s'appelle la somme des termes.
- Le résultat de la soustraction s'appelle la différence des termes.
- Le résultat de la multiplication s'appelle le produit des facteurs.
- Dans la division euclidienne, le résultat s'appelle le quotient (Q), et ce qu'il reste s'appelle le reste (R). Le reste est toujours plus petit que le diviseur.
Astuce : avant de poser un calcul, on peut estimer le résultat pour vérifier ensuite qu'il est raisonnable. Pour 802 + 99, 802 est proche de 800 et 99 est proche de 100 :
- estimation : 800 + 100 = 900
- calcul exact : 802 + 99 = 901
- les deux sont proches : le résultat est cohérent.
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Méthode
L'addition posée
On aligne les nombres par colonnes (unités sous unités, dizaines sous dizaines...), puis on additionne colonne par colonne, en partant de la droite. Si une colonne dépasse 9, on écrit le chiffre des unités et on retient les dizaines pour la colonne suivante.
Exemple : 356 + 178
| 1 | 1 | ||
| 3 | 5 | 6 | |
| + | 1 | 7 | 8 |
| 5 | 3 | 4 |
356 + 178 = 534. Le résultat s'appelle la somme.
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Méthode
La soustraction posée
On aligne les nombres par colonnes, le plus grand nombre au-dessus. On soustrait colonne par colonne, en partant de la droite. Si le chiffre du haut est plus petit que celui du bas, on utilise la compensation : on ajoute 10 au chiffre du haut, ET on ajoute 1 au chiffre du bas de la colonne suivante -- comme on ajoute la même quantité (10) aux deux nombres, leur différence ne change pas !
Exemple : 623 − 148
| +10 | +10 | ||
| 6 | 2 | 3 | |
| − | 1+1 | 1+4 | 8 |
| 4 | 7 | 5 |
623 − 148 = 475. Le résultat s'appelle la différence.
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Méthode
La multiplication posée
On multiplie d'abord le nombre du haut par le chiffre des unités du nombre du bas, puis par son chiffre des dizaines (le résultat s'écrit alors décalé, car on multiplie en réalité par des dizaines entières). On additionne enfin ces deux résultats intermédiaires.
Exemple : 34 × 23
| 3 | 4 | le nombre qu'on multiplie | ||
| × | 2 | 3 | par combien on multiplie | |
| 1 | 0 | 2 | ← 34 × 3 (chiffre des unités de 23) | |
| 6 | 8 | 0 | ← 34 × 20 (chiffre des dizaines de 23) | |
| 7 | 8 | 2 | ← 102 + 680 |
- 34 × 3 = 102
- 34 × 20 = 680
- 102 + 680 = 782
Le résultat, 782, s'appelle le produit.
5
Méthode
La division euclidienne posée
On prend les chiffres du dividende un par un (en partant de la gauche), et on cherche à chaque étape combien de fois le diviseur y « rentre ». On écrit ce nombre de fois au quotient, on soustrait, et on abaisse le chiffre suivant du dividende.
Exemple : 587 ÷ 9
| 5 | 8 | 7 | |
| − | 5 | 4 | |
| 4 | 7 | ||
| − | 4 | 5 | |
| 2 |
9
65
587 = 9 × 65 + 2, avec 2 < 9
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Définitions
Multiples et diviseurs
- Un nombre entier est un multiple d'un autre nombre entier s'il est dans sa table de multiplication (ou son prolongement).
Exemple : 42 est un multiple de 7 car il est dans la table de 7. En effet : 42 = 6 × 7. - Un nombre entier est un diviseur d'un autre nombre entier si la division euclidienne du deuxième par le premier a un reste nul.
Exemple : 7 est un diviseur de 42 car le reste de la division de 42 par 7 vaut 0. On dit aussi que 42 est divisible par 7.
« 42 est un multiple de 7 » et « 7 est un diviseur de 42 » décrivent le même fait, vu de deux côtés différents !
On part de 0.
Les multiples de 7 : on avance de 7 en 7 à partir de 0.
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Règles
Critères de divisibilité
- Un nombre entier est divisible par 2 (on dit qu'il est pair) si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Exemple : 116 est divisible par 2 car son chiffre des unités est 6. - Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Exemple : 115 est divisible par 5 car son chiffre des unités est 5. - Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
Exemple : 110 est divisible par 10 car son chiffre des unités est 0.
Ces critères permettent de savoir si un nombre est divisible sans avoir besoin de poser la division -- il suffit de regarder son dernier chiffre !
draw Méthode
Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).
M
Comment poser une addition avec retenue ?
| 3 | 5 | 6 | |
| + | 1 | 7 | 8 |
On pose l'addition : on aligne les nombres par colonnes -- unités sous unités, dizaines sous dizaines, centaines sous centaines.
M
Comment poser une soustraction par compensation ?
| 6 | 2 | 3 | |
| − | 1 | 4 | 8 |
On pose la soustraction : 623 (le nombre dont on part) au-dessus, 148 (le nombre qu'on enlève) en dessous, alignés par colonnes.
M
Comment poser une multiplication ?
| 3 | 4 | le nombre qu'on multiplie | ||
| × | 2 | 3 | par combien on multiplie |
On pose la multiplication : 34 (le nombre qu'on multiplie) au-dessus, 23 (par combien on multiplie) en dessous.
M
Comment poser une division euclidienne ?
| 5 | 8 | 7 |
9
On pose la division de 587 par 9.
M
À toi : une opération posée, pas à pas
| +10 | +10 | |||
| 6 | 2 | 3 | ||
| − | 1 | 4 | 8 | |
1 / 5 On pose l'opération : les unités sous les unités.
Tape tes propres nombres, choisis l'opération, puis « Calculer ». Le calcul se déroule colonne par colonne.
edit Exercices et rédaction
Rédaction type : « Poser et effectuer une division euclidienne »
438 ÷ 6Je pose la division : 438 est le dividende, 6 est le diviseur.
438 = 6 × 73 + 0Je vérifie : 6 × 73 = 438, et le reste (0) est bien inférieur à 6.
Exercices
Exercice 1
Un cinéma a accueilli 467 spectateurs samedi et 385 dimanche. Combien de spectateurs a-t-il accueillis pendant le week-end ?
Exercice 2
Un livre a 542 pages. Lina en a déjà lu 267. Combien de pages lui reste-t-il à lire ?
Exercice 3
Un carton contient 213 crayons. Combien de crayons y a-t-il dans 4 cartons ?
Exercice 4
On range 438 œufs dans des boîtes de 6. Combien de boîtes remplit-on ? Vérifie ton résultat.
Exercice 5
Cite 5 multiples de 6. Le nombre 56 est-il un multiple de 6 ? Justifie.
Exercice 6
Parmi ces nombres, lesquels sont divisibles par 2 ? par 5 ? par 10 ?- 340
- 125
- 612
- 1 000
- 87
Entraînement libre
Exerce-toi : division euclidienne
Indique un dividende et un diviseur (les tiens, ou au hasard) : la division posée se calcule automatiquement.
history_edu Un peu d'histoire
history_edu Un peu d'histoire : d'où viennent les signes +, −, × et ÷ ?
Les quatre signes que tu utilises tous les jours en calcul n'ont pas toujours existé ! Pendant très longtemps, on écrivait les opérations en toutes lettres, ce qui prenait beaucoup de place et rendait les calculs difficiles à lire.Les signes + et − apparaissent pour la première fois dans des documents de marchands allemands, à la fin du XVe siècle : le + (qui vient du mot latin « et », signifiant « et ») servait à noter un surplus de marchandises, et le − un manque. Un mathématicien allemand, Johannes Widmann, les utilise dans un livre imprimé en 1489 -- c'est l'une des toutes premières fois qu'on les voit sous cette forme.
Le signe × a été inventé bien plus tard, en 1631, par un mathématicien anglais nommé William Oughtred : une croix inclinée, facile à distinguer de la lettre « x ». Le signe ÷ (deux points séparés par un trait, qu'on appelle un « obélus ») a été proposé encore plus tard, en 1659, par le mathématicien suisse Johann Rahn.
Quant au signe =, il a été inventé en 1557 par un mathématicien gallois, Robert Recorde, qui expliquait avoir choisi deux traits parallèles « parce que deux choses ne peuvent pas être plus égales » ! Grâce à tous ces signes, on peut aujourd'hui écrire un calcul en quelques symboles, là où il fallait autrefois une phrase entière.
Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.
Faire le quiz