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Algèbre

Nombres et calculs Cours de mathématiques de CM1 (cours moyen 1re année) · chapitre 20 · Observer et prolonger une suite · Une suite de figures · Le signe = et les égalités à trou · La balance en équilibre · Les programmes de calcul

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Observer et prolonger une suite

Définition

Une suite est une liste d'éléments (dessins, nombres…) qui suivent une règle. Pour la prolonger, on cherche ce qui change d'un élément au suivant.

Une suite de motifs : ● ▲ ▲ ● ▲ ▲ ● ▲ ▲ …

Le motif « ● ▲ ▲ » se répète. Le 10^e élément est un ● (car 10 = 3 × 3 + 1 : c'est le premier élément du 4^e motif).

Une suite de nombres : 5 ; 9 ; 13 ; 17 ; …

On ajoute 4 à chaque fois. Les nombres suivants sont 21, 25, 29.

On part de 5.

Une suite qui augmente toujours de la même quantité : des sauts tous égaux.

Une suite de figures

Étape 1 : 4 allumettes ; étape 2 : 7 ; étape 3 : 10 ; étape 4 : 13.

Trouver la règle

À chaque étape, on ajoute un carré qui utilise 3 allumettes de plus. Pour l'étape 5 : 13 + 3 = 16 allumettes.
On peut aussi trouver directement l'étape 10 : on part de 1 allumette (le côté de gauche), puis 3 allumettes par carré : 1 + 10 × 3 = 31 allumettes.

Le signe = et les égalités à trou

Définition

Le signe = veut dire « vaut autant que » : ce qui est à gauche a la même valeur que ce qui est à droite. Il ne veut pas seulement dire « le résultat est ».

Exemples :

7 + 5 = 12 et aussi 12 = 7 + 5.
7 + 5 = 10 + 2 : les deux côtés valent 12.
Dans 8 + ■ = 15, le nombre caché ■ est 7 (car 8 + 7 = 15).
Dans ■ × 6 = 42, le nombre caché est 7 (table de 6).

Pour trouver un nombre caché, on peut utiliser l'opération inverse : 8 + ■ = 15 → ■ = 15 − 8 = 7.

La balance en équilibre

Règle

Une égalité ressemble à une balance en équilibre : les deux plateaux ont la même masse. Si on enlève la même chose des deux côtés, la balance reste en équilibre.
Ici, on enlève 4 g de chaque côté :

3 cubes + 4 g = 10 g
3 cubes = 6 g
donc 1 cube = 2 g

Les programmes de calcul

Définition

Un programme de calcul est une suite d'instructions à appliquer à un nombre de départ.

Programme : « Choisis un nombre → multiplie-le par 2 → ajoute 3 ».

Avec 5 : 5 × 2 = 10,
puis 10 + 3 = 13.
On a obtenu 17 : quel était le nombre de départ ? On remonte le programme :
17 − 3 = 14,
puis 14 ÷ 2 = 7.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Trouver le 10e terme d'une suite

3 → 8 → 13 → 18

On regarde ce qui change d'un nombre au suivant : on ajoute 5 à chaque fois.

Remonter un programme de calcul

départ → + 4 → × 3 → 30

On écrit le programme sous forme de chaîne.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Nombre caché »

■ + 18 = 50Je cherche le nombre qui, ajouté à 18, donne 50.

■ = 50 − 18 = 32J'utilise l'opération inverse.

Vérification : 32 + 18 = 50Je vérifie.

Exercices

Exercice 1

Prolonge chaque suite de 3 nombres et explique la règle.

2 ; 5 ; 8 ; 11 ; …
100 ; 90 ; 80 ; …
1 ; 2 ; 4 ; 8 ; …

Exercice 2

Suite de motifs : ★ ■ ■ ★ ■ ■ … Quel est le 12^e élément ? le 13^e ?

Exercice 3

Avec la suite des allumettes du cours, combien faut-il d'allumettes pour l'étape 6 ? pour l'étape 20 ?

Exercice 4

Trouve le nombre caché.

25 + ■ = 40
■ − 12 = 30
7 × ■ = 56
■ ÷ 4 = 9

Exercice 5

Vrai ou faux ?

6 + 4 = 5 + 5
3 × 4 = 4 + 3
20 = 4 × 5

Exercice 6

Programme : « Choisis un nombre → multiplie par 5 → enlève 2 ». Que donne-t-il avec 4 ? avec 10 ?

Exercice 7

Avec le même programme, on a obtenu 33. Quel était le nombre de départ ?

Exercice 8

Sur une balance en équilibre, il y a 2 boîtes identiques et 5 kg d'un côté, et 17 kg de l'autre. Combien pèse une boîte ?

history_edu Un peu d'histoire

history_edu Un peu d'histoire : al-Khwârizmî et le mot « algèbre »

Au IX^e siècle, à Bagdad, le savant al-Khwârizmî écrit un livre pour résoudre des problèmes de partage d'héritage et de commerce. Il y explique comment trouver un nombre inconnu en « équilibrant » les deux côtés, comme une balance.

Le titre de son livre contient le mot al-jabr, qui veut dire « remettre en place » : c'est l'origine du mot algèbre. Et son nom a donné le mot algorithme !

Le signe « = » a été inventé bien plus tard, en 1557, par le Gallois Robert Recorde : il a choisi deux traits parallèles « parce que rien ne peut être plus égal ».

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz