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Symétrie axiale

Géométrie Cours de mathématiques de 6e (sixième) · chapitre 10 · Figures symétriques · Symétrie d'un point · Propriétés de la symétrie axiale · Axe de symétrie d'un segment · Axe de symétrie d'un angle

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Figures symétriques

Définition

Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si elles se superposent par pliage le long de cette droite, appelée l'axe de symétrie.

Exemple :

Les deux figures se superposent par pliage le long de la droite (d) : elles sont donc symétriques par rapport à (d).

Deux points sont symétriques par rapport à une droite s'ils se superposent par pliage le long de cette droite.

Symétrie d'un point

Définition

Le symétrique d'un point M par rapport à une droite (d) est le point M' tel que (d) soit la médiatrice du segment [MM'] (c'est-à-dire tel que (d) soit perpendiculaire au segment [MM'] en son milieu).

Exemple : construis M', symétrique du point M par rapport à la droite (d).

Axe horizontal ou vertical :

Déplace le point M (le point bleu).

M et M' sont situés à la même distance de (d), de part et d'autre, sur une perpendiculaire à (d). On compte le nombre de carreaux de M jusqu'à (d), et on reporte le même nombre de carreaux de l'autre côté de (d).

Axe en diagonale : on rejoint (d) à l'horizontale en comptant les carreaux, puis on redescend à la verticale en comptant le même nombre de carreaux.

Déplace le point M (le point bleu).

De M, on avance à l'horizontale jusqu'à (d) en comptant les carreaux. À partir de ce point de (d), on redescend à la verticale en comptant le même nombre de carreaux : on trouve M'.

Si un point appartient à l'axe de symétrie, alors son symétrique est le point lui-même.

Propriétés de la symétrie axiale

Propriété 1

Symétrique d'une droite

Le symétrique d'une droite par rapport à un axe est une droite. La symétrie axiale conserve l'alignement.

Propriété 2

Symétrique d'un segment

Le symétrique d'un segment par rapport à un axe est un segment de même longueur. La symétrie axiale conserve les longueurs.

Remarque : le symétrique du milieu d'un segment est le milieu du segment symétrique.

Propriété 3

Symétrique d'un cercle

Le symétrique d'un cercle par rapport à un axe est un cercle de même rayon. Les centres de ces cercles sont symétriques par rapport à cet axe.

Propriété 4

Symétrique d'un angle

Le symétrique d'un angle est un angle de même mesure. La symétrie axiale conserve les mesures des angles.

Remarque : pour construire le symétrique d'une figure complexe, on la décompose en figures usuelles et on construit le symétrique de chacune d'elles.

Exemples :

Symétrique d'une droite

Déplace les 2 points bleus.

Symétrique d'un segment

Déplace les 2 points bleus.

Symétrique d'un cercle

Déplace le centre bleu.

Axe de symétrie d'un segment

Propriété 1

La médiatrice d'un segment est un axe de symétrie de ce segment.

Propriétés 2

Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est situé à égale distance des extrémités de ce segment.
Réciproquement, si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

Remarque : si un point n'est pas sur la médiatrice d'un segment, alors il est plus proche de l'une des extrémités que de l'autre.

Propriété 3

La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

Exemple :

P est sur la médiatrice : PA = PB.

Déplace le point P (le point bleu), sur la médiatrice ou en dehors.

(d) est la médiatrice de [AB]. Tant que P reste sur (d), il est équidistant de A et de B : PA = PB.

Axe de symétrie d'un angle

Propriété

La bissectrice d'un angle est l'axe de symétrie de cet angle.

Exemple :

Déplace les points A et B (les points bleus).

La demi-droite (en pointillés), bissectrice de l'angle $\hat{A O B}$ , le partage en deux angles de même mesure.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Bissectrice d'un angle au compas

La construction à l'équerre et au rapporteur a déjà été vue dans le chapitre sur les angles. Voici la construction au compas.

Prendre un écartement au compas quelconque.

Piquer au sommet de l'angle et intercepter les deux côtés (deux petits arcs, sans les joindre).

Piquer sur chaque point d'intersection : construire deux arcs de cercle de même écartement, qui se coupent.

Finir à la règle et au crayon : tracer la demi-droite depuis le sommet, en passant par ce point.

Coder les deux angles obtenus : ils sont égaux.

Médiatrice d'un segment au compas

Une seconde méthode, avec le compas plutôt qu'à la règle et à l'équerre.

Piquer en A avec un écartement supérieur à la moitié de [AB] : tracer un arc de chaque côté de [AB].

Piquer en B avec le même écartement : tracer deux arcs qui recoupent les précédents.

Tracer, à la règle, la droite passant par les deux points d'intersection : c'est la médiatrice.

Coder le milieu de [AB] et l'angle droit.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Justifier que deux points sont symétriques »

(d) est la médiatrice du segment [MM'].
Donc M' est le symétrique du point M par rapport à la droite (d).

Rédaction type : « Justifier qu'un point appartient à la médiatrice »

PA = PB.
Or, si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
Donc P appartient à la médiatrice de [AB].

Rédaction type : « Justifier qu'une demi-droite est une bissectrice »

La demi-droite [Oz) partage l'angle

\hat{x O y}

en deux angles de même mesure :

\hat{x O z} = \hat{z O y}

.
Donc [Oz) est la bissectrice de l'angle

\hat{x O y}

Exercices

Exercice 1

Trace une droite (d) et un point M n'appartenant pas à (d). Construis le symétrique M' de M par rapport à (d), à la règle et à l'équerre, en laissant apparents les traits de construction.

Exercice 2

Trace un segment [AB] de 6 cm. Construis sa médiatrice au compas, en laissant apparents les deux couples d'arcs de cercle. Code le milieu et l'angle droit obtenus.

Exercice 3

Trace un angle

\hat{x O y}

de 70°. Construis sa bissectrice au compas, en laissant apparents les traits de construction. Code les deux angles obtenus.

Exercice 4

ABC est un triangle isocèle en A. La droite (d) est la médiatrice de [BC] et passe par A. Explique pourquoi B et C sont symétriques par rapport à (d).

Exercice 5

P est un point tel que PA = 5 cm et PB = 5 cm, où A et B sont les extrémités d'un segment. Explique pourquoi P appartient à la médiatrice de [AB].

history_edu Un peu d'histoire

La symétrie axiale est sans doute la plus ancienne notion de géométrie observée par l'être humain : on la retrouve dans la nature (le corps humain, les ailes d'un papillon, les feuilles de nombreuses plantes) bien avant toute étude mathématique. Les architectes de l'Antiquité l'utilisent systématiquement pour donner un sentiment d'équilibre à leurs monuments : les temples grecs, comme le Parthénon, sont conçus autour d'un axe de symétrie central, tout comme de nombreuses façades de cathédrales gothiques bien plus tard. Le mot « symétrie » vient d'ailleurs du grec sun (avec) et metron (mesure) : une figure symétrique est littéralement une figure de « même mesure » de part et d'autre de son axe. Euclide, dans ses Éléments (IIIe siècle avant J.-C.), utilise déjà des constructions à la règle et au compas qui reposent sur ces idées, sans disposer du vocabulaire moderne. Il faut attendre le XIXe siècle et le développement de la théorie des groupes, notamment les travaux du mathématicien allemand Felix Klein, pour que la symétrie soit formalisée comme une transformation géométrique à part entière, ouvrant la voie à son usage en cristallographie et en physique moderne.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz