Multiplication et division
Nombres et calculs Cours de mathématiques de 6e (sixième) · chapitre 9 · Multiplication et division par 10 ; 100 ; 1 000 · Multiplication de deux nombres décimaux · Division d'un nombre décimal par un nombre entier
Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.
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Multiplication et division par 10 ; 100 ; 1 000
| Pour multiplier par : | le chiffre des unités devient : |
|---|---|
| 10 | le chiffre des dizaines. |
| 100 | le chiffre des centaines. |
| 1 000 | le chiffre des milliers. |
Exemples :
0,58 × 10 = 5,8
24 × 100 = 24,00 × 100 = 2 400
6,371 × 1 000 = 6 371
| Pour diviser par : | le chiffre des unités devient : |
|---|---|
| 10 | le chiffre des dixièmes. |
| 100 | le chiffre des centièmes. |
| 1 000 | le chiffre des millièmes. |
Exemples :
84 ÷ 10 = 84,0 ÷ 10 = 8,4
305,2 ÷ 100 = 3,052
9 ÷ 1 000 = 0009 ÷ 1 000 = 0,009
Multiplication de deux nombres décimaux
Multiplication par 0,1 ; 0,01 ; 0,001
| Multiplier par : | c'est diviser par : |
|---|---|
| 0,1 | 10, 0,1 = |
| 0,01 | 100, 0,01 = |
| 0,001 | 1 000, 0,001 = |
Exemples :
64 × 0,1 = 6,4
4,2 × 0,01 = 004,2 × 0,01 = 0,042
38 × 0,001 = 0038 × 0,001 = 0,038
Multiplication de deux nombres décimaux
- on effectue d'abord la multiplication sans tenir compte des virgules ;
- on place la virgule dans le produit en comptant le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs.
Exemple : effectue la multiplication de 1,25 par 3,4.
On effectue la multiplication de 125 par 34, sans les virgules : .
Le facteur 1,25 a deux chiffres après la virgule. Le facteur 3,4 a un chiffre après la virgule. On doit donc placer la virgule dans le produit de telle sorte qu'il y ait chiffres après la virgule.
Finalement, .
Division d'un nombre décimal par un nombre entier
Exemple 1 : effectue la division de 57 par 8.
57 est la valeur exacte du dividende : 57 ÷ 8 = 7,125 exactement (le reste finit par tomber à 0).
Exemple 2 : effectue la division de 5,3 par 9.
On pose la division comme précédemment. Le quotient commence par 0, puis 5, puis 8, puis 8, puis 8… Les chiffres 8 se répètent indéfiniment : cette division ne s'arrête jamais.
On donne alors une valeur approchée du quotient, à la précision demandée. Au millième, 5,3 ÷ 9 ≈ 0,589.
Exemple 3 : Farid a payé 42,50 € pour 25 L d'essence. Quel est le prix d'un litre d'essence ?
Pour résoudre ce genre de problème, on peut utiliser la calculatrice.
On tape sur la calculatrice : 4 2 . 5 0 ÷ 2 5 = et on lit 1,7. Un litre d'essence coûte donc 1,70 €.
draw Méthode
Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).
Multiplier par 10, 100 ou 1 000 : repérer le chiffre des unités
Plutôt que de "décaler la virgule" sans réfléchir, on peut repérer le chiffre des unités et se demander quel chiffre il devient une fois l'opération effectuée.
Exemple : calcule 13,567 × 100.
Multiplier par 0,1 ; 0,01 ou 0,001 : la même méthode, dans l'autre sens
Le chiffre des unités devient cette fois un chiffre après la virgule (dixièmes, centièmes...).
Exemple : calcule 24 × 0,1.
edit Exercices et rédaction
Exercices
history_edu Un peu d'histoire
Les Égyptiens de l'Antiquité multipliaient deux nombres sans jamais apprendre de table de multiplication : ils savaient seulement doubler un nombre et additionner. Cette méthode, dite « multiplication égyptienne » (ou parfois « multiplication russe », des paysans russes l'utilisant encore au XIXe siècle), consiste à doubler un des deux facteurs plusieurs fois de suite, puis à n'additionner que certains de ces doublements.
Exemple : calculer 13 × 24. On double 24 plusieurs fois de suite :
| ×1 | ×2 | ×4 | ×8 | ×16 |
|---|---|---|---|---|
| 24 | 48 | 96 | 192 | 384 |
Comme 13 = 1 + 4 + 8, on additionne seulement les doublements correspondants (en vert) : 24 + 96 + 192 = 312. On retrouve bien 13 × 24 = 312, sans avoir eu besoin de connaître « 13 fois 24 » par cœur !
Les symboles eux-mêmes sont beaucoup plus récents que les nombres : le signe × est introduit par le mathématicien anglais William Oughtred en 1631, et le signe ÷ par le mathématicien suisse Johann Rahn en 1659 -- bien après l'invention de notre écriture décimale.
Clin d'œil : dans la bande dessinée Astérix, les noms des deux héros viennent eux aussi de symboles typographiques -- le grand-père de René Goscinny, l'un des créateurs, était imprimeur. Astérix vient de l'astérisque (*), ce petit symbole en forme d'étoile parfois utilisé pour la multiplication (notamment sur ordinateur). Obélix vient de l'obèle, l'ancêtre typographique du signe ÷ utilisé pour la division !
Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.
Faire le quiz