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Construction de triangles

Géométrie Cours de mathématiques de 6e (sixième) · chapitre 8 · Triangles particuliers · Caractérisation angulaire des triangles particuliers

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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1

Triangles particuliers

A

Triangle isocèle

Définition
Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur.
Vocabulaire
  • Le sommet commun aux côtés de même longueur est appelé le sommet principal.
  • Le côté opposé au sommet principal est appelé la base.

Exemple :

A B C
B

Triangle équilatéral

Définition
Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de même longueur.

Exemple :

D E F

Le triangle DEF est équilatéral.

C

Triangle rectangle

Définition
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.
Vocabulaire
Le côté opposé à l'angle droit est appelé hypoténuse.

Exemple :

K L M
2

Caractérisation angulaire des triangles particuliers

A

Triangle isocèle

Propriété 1
Un triangle isocèle a un axe de symétrie qui est à la fois la médiatrice de sa base et la bissectrice de son angle principal.
Propriété 2
Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure.

Exemple :

B A C

L'axe de symétrie (en pointillés) passe par B et par le milieu de [AC] : c'est la médiatrice de la base [AC] et la bissectrice de l'angle ABC^. Les angles en A et en C ont la même mesure.

B

Triangle équilatéral

Propriété 1
Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie qui sont à la fois les médiatrices de ses côtés et les bissectrices de ses angles.
Propriété 2
Dans un triangle équilatéral, tous les angles ont la même mesure (60°).

Exemple :

D E F

Les trois axes de symétrie (en pointillés) se croisent en un même point. Les trois angles du triangle DEF mesurent chacun 60°.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

M

Construction de triangles quelconques

A

Connaissant les longueurs de ses trois côtés

Exemple : construis un triangle ABC tel que AB = 6 cm, BC = 5 cm et AC = 4,5 cm.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C
1
On trace un segment [AB] de longueur 6 cm à la règle.
2
Le point C est à 5 cm du point B donc on trace un arc de cercle de centre B et de rayon 5 cm (mesurés à la règle).
3
On trace l'arc de cercle de centre A et de rayon 4,5 cm (mesurés à la règle). Le point C est le point d'intersection des deux arcs.
4
On trace le triangle ABC.
Attention : trois longueurs ne permettent pas toujours de construire un triangle. Avec des côtés de 2 cm, 3 cm et 7 cm, les deux arcs de cercle ne se coupent pas : 2 + 3 = 5 cm, c'est trop court pour « rejoindre » les extrémités du côté de 7 cm. Pour que le triangle existe, la plus grande longueur doit être plus petite que la somme des deux autres.
B

Connaissant la longueur de deux côtés et la mesure de l'angle délimité par ces côtés

Exemple : construis un triangle DEF tel que DE = 6 cm, DF = 5 cm et EDF^=50°.

D E 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 F
1
On trace un segment [DE] de longueur 6 cm à la règle.
2
Au rapporteur, on place une marque au crayon telle que EDx^=50°.
3
À la règle, on trace la demi-droite [Dx) en passant par cette marque.
4
Sur cette demi-droite, à la règle, on place le point F tel que DF = 5 cm.
5
On trace [EF] pour compléter le triangle DEF.
C

Connaissant la longueur d'un côté et la mesure des angles adjacents à ce côté

Exemple : construis un triangle GHI tel que GH = 6 cm, HGI^=50° et GHI^=60°.

G H 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 I
1
On trace un segment [GH] de longueur 6 cm à la règle.
2
Au rapporteur, on place une marque au crayon telle que HGx^=50°.
3
À la règle, on trace la demi-droite [Gx) en passant par cette marque.
4
Au rapporteur, on place une marque au crayon telle que GHy^=60°, du même côté que [Gx).
5
À la règle, on trace la demi-droite [Hy) en passant par cette marque.
6
Le point où les deux demi-droites se croisent est I : le triangle GHI est terminé.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Justifier qu'un triangle est isocèle »

AB = AC.
Or, un triangle qui a deux côtés de même longueur est isocèle.
Donc le triangle ABC est isocèle en A.

Rédaction type : « Justifier qu'un triangle est équilatéral »

AB = BC = CA.
Or, un triangle qui a ses trois côtés de même longueur est équilatéral.
Donc le triangle ABC est équilatéral.

Exercices

Exercice 1
Construis un triangle ABC tel que AB = 5 cm, BC = 6 cm et CA = 7 cm, en laissant apparents les arcs de compas.
Exercice 2
Construis un triangle DEF tel que DE = 6 cm, DF = 4 cm et EDF^=40°, en laissant apparents les traits de construction.
Exercice 3
Construis un triangle GHI tel que GH = 5 cm, HGI^=55° et GHI^=65°, en laissant apparents les traits de construction.
Exercice 4
Un triangle a pour côtés 4 cm, 4 cm et 4 cm. Quelle est sa nature ? Justifie.
Exercice 5
Un triangle MNP est tel que MN = MP = 6 cm et NP = 4 cm. Quelle est sa nature ? Justifie.

history_edu Un peu d'histoire

history_edu Un peu d'histoire

Dans l'Égypte antique, chaque année, la crue du Nil recouvre les champs et efface leurs limites. Il faut alors les retracer avec précision, et surtout reconstruire des angles droits bien nets pour délimiter les parcelles (un vrai problème sans équerre ni rapporteur !) Les arpenteurs égyptiens (qu'on surnomme parfois les « tendeurs de corde ») utilisent une astuce d'une simplicité redoutable : une corde à 13 nœuds régulièrement espacés, formant 12 intervalles égaux.

En tendant cette corde entre trois piquets pour former un triangle de 3, 4 et 5 intervalles de côté, ils obtiennent à coup sûr un angle droit, exactement entre le côté de 3 et celui de 4, sans rien mesurer d'autre que des longueurs de corde !

3 4 5

Chaque point représente un nœud de la corde, régulièrement espacé. 3 + 4 + 5 = 12 intervalles égaux, refermés en boucle.

Cette propriété du triangle 3-4-5 (aujourd'hui reliée au théorème de Pythagore, que vous verrez plus tard) illustre une idée essentielle de ce chapitre : connaître seulement les trois longueurs d'un triangle suffit à fixer complètement sa forme, y compris ses angles. C'est pour cette raison que les charpentes de toit, les pylônes électriques, les grues et la tour Eiffel sont construits à partir de triangles : contrairement à un carré, qui peut se déformer en losange sans que ses côtés changent de longueur, un triangle ne peut absolument pas se tordre une fois ses trois côtés fixés.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz