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Opérations et ordre de grandeur

Nombres et calculs Cours de mathématiques de 6e (sixième) · chapitre 7 · Addition de nombres décimaux · Soustraction de nombres décimaux

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

1

Addition de nombres décimaux

Règle
Pour poser et effectuer une addition de nombres décimaux, on place les nombres les uns en dessous des autres, de sorte que les virgules soient alignées verticalement.

Exemples :

9,4
+0,63
+12
=22,03

Addition bien posée

9,4
+0,63
+12

Addition mal posée (virgules non alignées)

2

Soustraction de nombres décimaux

Règle
Pour poser et effectuer une soustraction de nombres décimaux, on place les nombres les uns en dessous des autres, de sorte que les virgules soient alignées verticalement.

Pour poser la soustraction 15 − 6,3, on place les nombres correctement et on ajoute un zéro pour que les deux nombres aient le même nombre de chiffres dans leur partie décimale (en effet, 15 = 15,0).

15,0
−6,3
=8,7

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Soustraire des nombres décimaux (méthode par compensation)

Même principe que pour soustraire des durées (voir le chapitre « Heures et durée ») : quand une colonne est trop petite pour soustraire, on lui ajoute 10 (au lieu de 60 pour les durées), et on compense en ajoutant 1 à la colonne suivante du second terme.

Exemple : calcule 8,30 − 2,56.

unitésdixièmescentièmes
8,30
− 2 , 5 6
,

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Arrondir un nombre décimal

Règle
Pour arrondir un nombre à un rang donné, on repère le chiffre de ce rang, puis on regarde le chiffre juste après.
  • S'il vaut 0, 1, 2, 3 ou 4, on ne change rien au chiffre repéré, et on supprime tout ce qui suit.
  • S'il vaut 5, 6, 7, 8 ou 9, on augmente le chiffre repéré de 1 (avec parfois une retenue), et on supprime tout ce qui suit.

Troncature, arrondi par défaut, arrondi par excès

Troncature : on supprime tous les chiffres après le rang demandé, sans regarder le chiffre suivant.
Arrondi par défaut : la valeur, à ce rang, la plus proche du nombre tout en restant inférieure ou égale.
Arrondi par excès : la valeur, à ce rang, la plus proche du nombre tout en restant supérieure ou égale.

Pour un nombre positif, la troncature et l'arrondi par défaut donnent toujours la même valeur. L'arrondi "classique" (au plus proche), lui, correspond tantôt à l'arrondi par défaut, tantôt à l'arrondi par excès, selon le chiffre suivant.

Exemple : pour le nombre 8,6427 :

Rang Troncature Arrondi par défaut Arrondi par excès Arrondi (au plus proche)
à l'unité 8 8 9 9
au dixième 8,6 8,6 8,7 8,6
au centième 8,64 8,64 8,65 8,64

À l'unité, le chiffre suivant (6) est 5 ou plus : l'arrondi au plus proche correspond à l'arrondi par excès (9). Au dixième et au centième, le chiffre suivant (4 puis 2) est inférieur à 5 : l'arrondi au plus proche correspond à l'arrondi par défaut.

Exemple 1 : arrondis 27,342 au dixième.

milliers
centaines
dizaines
unités
dixièmes
centièmes
millièmes
2
7
3
4
2
On veut arrondir 27,342 au dixième. On repère le chiffre des dixièmes : 3.
1
On repère le chiffre des dixièmes.
2
On regarde le chiffre juste après (les centièmes).
3
Il est inférieur à 5 : on ne change rien, on supprime la suite.
4
On lit le résultat : 27,3.

Exemple 2 : arrondis 9,96 à l'unité (attention à la retenue).

milliers
centaines
dizaines
unités
dixièmes
centièmes
millièmes
9
9
6
On veut arrondir 9,96 à l'unité. On repère le chiffre des unités : 9.
1
On repère le chiffre des unités.
2
On regarde le chiffre juste après (les dixièmes).
3
Il est 5 ou plus : on augmente le chiffre des unités de 1, avec une retenue.
4
On lit le résultat : 10.

edit Exercices et rédaction

Exercices

Exercice 1
Pose et effectue : 23,7 + 4,08 + 9, puis 18 − 5,64.
Exercice 2
Arrondis 14,378 au centième.
Exercice 3
Arrondis 6,95 à l'unité (attention à la retenue).
Exercice 4
Pour le nombre 12,367, donne : la troncature au dixième, l'arrondi par défaut au dixième, l'arrondi par excès au dixième, puis l'arrondi classique au dixième.

history_edu Un peu d'histoire

history_edu Un peu d'histoire
Estimer un ordre de grandeur, c'est un peu ce que le savant grec Archimède a fait vers 250 av. J.-C., dans un texte appelé L'Arénaire (« Celui qui compte les grains de sable »). À une époque où les Grecs ne savaient nommer que des nombres allant jusqu'à la « myriade » (10 000), Archimède invente un système pour écrire des nombres immensément plus grands, et calcule qu'il faudrait environ 1063 grains de sable pour remplir tout l'Univers tel qu'on l'imaginait alors ! Cet exercice, à la fois amusant et sérieux, est l'un des tout premiers exemples connus de calcul d'ordre de grandeur.

Des cailloux au boulier : additionner et soustraire avant les chiffres

Le mot « calcul » vient du latin calculus, qui signifie « petit caillou » : les Romains posaient de petits cailloux sur une table recouverte de sable (en grec, abax, d'où le mot « abaque ») pour compter et effectuer leurs opérations. Ils inventent ensuite l'abaque à jetons, une planche gravée de rainures dans lesquelles glissent des jetons, chaque rainure représentant un rang de la numération (unités, dizaines, centaines...). Cet outil reste utilisé en Europe jusqu'à la fin du XVIIIe siècle, bien après l'apparition de nos chiffres actuels.

En Chine apparaît au XIIIe siècle le boulier (suanpan), qui pousse l'idée encore plus loin : chaque tige verticale représente un rang (unités, dizaines, centaines...), et des boules coulissantes permettent de composer n'importe quel chiffre de 0 à 9 sur chaque tige. C'est une manière très concrète de voir ce qu'est une base de numération : la position d'une boule sur sa tige compte dix fois plus que la même position sur la tige juste à sa droite -- exactement le principe qu'on utilise en posant une addition ou une soustraction, en alignant bien les unités sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes...

Le boulier permet aussi de voir physiquement une retenue : quand une tige atteint 10 boules, on les échange contre une seule boule sur la tige suivante -- exactement le geste qu'on fait mentalement lorsqu'on pose une addition avec retenue, ou une soustraction avec la méthode par compensation.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz