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Angles et rapporteur

Géométrie Cours de mathématiques de 6e (sixième) · chapitre 6 · Notion d'angle · Différents types d'angles · Utilisation du rapporteur · Paire d'angles particuliers · Bissectrice d'un angle saillant

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

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Notion d'angle

A

Généralités

Définition
Un angle est une portion du plan délimitée par deux demi-droites de même origine.
O x y
B

Nommer un angle

Un angle peut se nommer de différentes manières (le plus souvent avec trois lettres, celle du milieu étant toujours le sommet de l'angle) : par exemple xOy^ ou yOx^.
Remarque : des angles de même mesure sont codés avec le même symbole (comme pour les longueurs).
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Différents types d'angles

On classe les angles par catégories selon leur mesure.

Angle Nul Aigu Droit Obtus Plat Rentrant Plein
Figure
Mesure 0° entre 0° et 90° 90° entre 90° et 180° 180° entre 180° et 360° 360°
3

Utilisation du rapporteur

Définitions
On peut mesurer « l'ouverture » d'un angle. L'unité que l'on utilise au collège est le degré. L'instrument qui permet de mesurer des angles est le rapporteur.
Remarque : un rapporteur gradué en degrés a souvent une double graduation (une qui va de 0 à 180° dans un sens, une autre dans l'autre sens), source de nombreuses erreurs. Il faut bien vérifier si l'angle étudié est aigu ou obtus avant de lire sa mesure.

Méthode : lire une mesure au rapporteur

Pour une lecture extérieure, place le 0° jaune sur un des côtés de l'angle, en veillant à ce que l'autre côté reste dans le rapporteur. Pour une lecture intérieure, c'est le 0° vert qui doit être placé sur un des côtés (l'autre côté reste alors aussi dans le rapporteur) : le résultat de la lecture est le même.

63°
Rapporteur

On souhaite mesurer cet angle. Le rapporteur n'est pas encore placé dessus.

Méthode : construire un angle donné au rapporteur

Rapporteur

On veut construire un angle de 72° à partir de ce côté déjà tracé.

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Paire d'angles particuliers

A

Angles opposés par le sommet

Définition
Deux angles opposés par le sommet sont deux angles qui ont un sommet commun et qui ont leurs côtés dans le prolongement l'un de l'autre.
M M' N N' O

Les angles MON^ et M′ON′^ ont comme sommet commun le point O et ont leurs côtés dans le prolongement l'un de l'autre. Ils sont donc opposés par le sommet.

Propriété
Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure.

Dans la figure précédente, les angles MON^ et M′ON′^ sont de même mesure (50°), ainsi que les angles MON′^ et M′ON^ (130°).

B

Angles adjacents

Définition
Deux angles adjacents sont deux angles qui ont un sommet commun, un côté commun, et qui sont situés de part et d'autre de ce côté commun.
A B C O

Les angles AOB^ et BOC^ ont comme sommet commun le point O, comme côté commun la demi-droite [OB), et sont placés de part et d'autre de [OB) : ils sont donc adjacents.

C

Angles supplémentaires

Définition
Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme de leur mesure fait 180°.
D F E O

Les angles adjacents DOE^ et EOF^ partagent un angle plat. Leur somme est donc égale à 180° (72° + 108°).

Ils sont donc supplémentaires.

Remarque : deux angles supplémentaires et adjacents forment un angle plat. Cette propriété peut donc être utilisée pour montrer que des points sont alignés.
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Bissectrice d'un angle saillant

Définition
La bissectrice d'un angle saillant est la droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure.

Méthode : construis la bissectrice de l'angle MON^ avec un rapporteur.

108° N M O B
Rapporteur

On veut tracer la bissectrice de l'angle MON.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

M

Méthode 1 : entraîne-toi à lire une mesure au rapporteur

Rapporteur
↻
M

Méthode 2 : entraîne-toi à construire un angle donné

Angle à construire : 85°

Rapporteur
↻
M

Méthode 3 : calculer une mesure grâce aux angles opposés par le sommet

Énoncé : Les droites (RR') et (TT') se coupent en S. On sait que RST^=62°\widehat{RST} = 62°. Calcule la mesure de l'angle R′ST′^\widehat{R'ST'}.

R R' T T' S
Les angles RST^ et R′ST′^ sont opposés par le sommet.
Ce que je sais : on repère deux angles opposés par le sommet.
M

Méthode 4 : justifier un alignement grâce aux angles supplémentaires

Énoncé : Les angles adjacents DOE^\widehat{DOE} et EOF^\widehat{EOF} sont tels que DOE^=72°\widehat{DOE} = 72° et EOF^=108°\widehat{EOF} = 108°. Montre que les points D, O et F sont alignés.

D F E O
Les angles adjacents DOE^ et EOF^ sont tels que DOE^=72° et EOF^=108°.
Ce que je sais.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Utiliser les angles opposés par le sommet »

Les angles RST^ et R′ST′^ sont opposés par le sommet.Ce que je sais.
Or, deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.On énonce la propriété.
Donc, comme RST^=62°, on a R′ST′^=62°.Conclusion.

Exercices

Exercice 1
Trace un angle xOy^ de 128° avec un rapporteur.
Exercice 2
Deux droites sécantes en O forment quatre angles. L'un d'eux mesure 38°. Donne les mesures des trois autres.
Exercice 3
Les angles adjacents DOE^ et EOF^ forment un angle plat. Sachant que DOE^=95°, calcule la mesure de EOF^. Rédige ta réponse.
Exercice 4
Construis un angle de 75°, puis trace sa bissectrice à l'aide d'un rapporteur.

history_edu Un peu d'histoire

history_edu Un peu d'histoire
Pourquoi un cercle complet mesure-t-il 360° et pas 100°, comme le reste de nos unités ? La réponse vient des astronomes babyloniens, en Mésopotamie, il y a environ 3 500 ans : ils comptaient en base 60 (au lieu de notre base 10), et 360 est un nombre qui se divise très facilement par beaucoup d'autres (2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...), en plus d'être proche du nombre de jours dans une année. Le rapporteur lui-même, tel qu'on le connaît, est un instrument bien plus récent : le premier outil vraiment dédié à tracer et mesurer des angles est décrit en 1589 par l'Anglais Thomas Blundeville, dans un ouvrage destiné à la navigation en mer.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz