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Nombres décimaux

Nombres et calculs Cours de mathématiques de 6e (sixième) · chapitre 5 · Sous-multiples de l'unité · Décomposition et nom des chiffres · Repérage sur une demi-droite graduée · Comparaison et rangement

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Sous-multiples de l'unité

Les dixièmes

Définition

Quand on coupe une unité en 10 parties égales, on obtient des dixièmes. Un dixième se note

\frac{1}{10}

. Dans l'unité, il y a 10 dixièmes, donc

1 = \frac{10}{10}

Les centièmes

Définition

Quand on coupe une unité en 100 parties égales, on obtient des centièmes. Un centième se note

\frac{1}{100}

. Dans l'unité, il y a 100 centièmes, donc

1 = \frac{100}{100}

Les millièmes

Définition

Quand on coupe une unité en 1 000 parties égales, on obtient des millièmes. Un millième se note

\frac{1}{1 000}

. Dans l'unité, il y a 1 000 millièmes, donc

1 = \frac{1 000}{1 000}

On représente l'unité par un grand cube, partagé en 10 × 10 × 10 = 1 000 petits cubes : chaque petit cube (en orange dans le grand cube) est un millième de l'unité. Une barre de 10 petits cubes est un centième ; une plaque de 100 petits cubes est un dixième ; 10 plaques font l'unité.

1 unité
1 000 petits cubes

1 plaque = 1 dixième

\frac{1}{10} = \frac{100}{1 000}

1 barre = 1 centième

\frac{1}{100} = \frac{10}{1 000}

1 petit cube = 1 millième

\frac{1}{1 000}

Exemple :

$\frac{8 347}{1 000} = 8 + \frac{347}{1 000} = 8, 347$

Décomposition et nom des chiffres

Définitions

Un nombre pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction décimale est un nombre décimal. Il peut aussi se noter en utilisant une virgule : c'est son écriture décimale.

Exemple : on considère le nombre décimal 5 218,647.

a. Écris-le en toutes lettres.
b. Donnes-en une décomposition.
c. Donne le nom de chaque chiffre.

On peut s'aider d'un tableau de classes :

Classe des mille			Classe des unités			Dixièmes $\frac{1}{10}$	Centièmes $\frac{1}{100}$	Millièmes $\frac{1}{1 000}$
C	D	U	C	D	U
		5	2	1	8	6	4	7

a. Ce nombre se lit donc : cinq-mille-deux-cent-dix-huit virgule six-cent-quarante-sept.
b. Il peut se décomposer ainsi :
5 218,647 = (5 × 1 000) + (2 × 100) + (1 × 10) + (8 × 1) + $(6 \times \frac{1}{10}) + (4 \times \frac{1}{100}) + (7 \times \frac{1}{1 000})$
c. 5 est le chiffre des unités de mille · 2 est le chiffre des centaines · 1 est le chiffre des dizaines
8 est le chiffre des unités · 6 est le chiffre des dixièmes · 4 est le chiffre des centièmes · 7 est le chiffre des millièmes

Remarque : un nombre entier est un nombre décimal particulier. En effet, 12 peut s'écrire avec une virgule (12,0) ou sous la forme d'une fraction décimale

(\frac{120}{10})

Repérage sur une demi-droite graduée

Exemple : quelles sont les abscisses des points M et N ?

Point M : abscisse 1,4 · Point N : abscisse 4,7

Dans la position de départ, le point M a pour abscisse $1 + \frac{4}{10}$ , soit 1,4. Le point N a pour abscisse $4 + \frac{7}{10}$ , soit 4,7.

On note M(1,4) et N(4,7).

Comparaison et rangement

Comparaison de deux nombres décimaux

Règle

Pour comparer deux nombres décimaux écrits sous forme décimale :

on compare les parties entières ;
si les parties entières sont égales, alors on compare les chiffres des dixièmes ;
si les chiffres des dixièmes sont égaux, alors on compare les chiffres des centièmes ;
et ainsi de suite jusqu'à ce que les deux nombres aient des chiffres différents.

Exemple : compare les nombres 46,285 et 46,29.

On compare d'abord les parties entières des deux nombres : elles sont égales, donc on compare les chiffres des dixièmes ;
ils sont égaux, donc on compare les chiffres des centièmes ;
8 < 9 donc 46,285 < 46,29.

Remarque : quand les parties entières sont égales, on peut comparer les parties décimales en millièmes.

46, 285 = 46 + \frac{285}{1 000}

46, 29 = 46 + \frac{290}{1 000}

. Or, 290 millièmes est plus grand que 285 millièmes, donc 46,29 > 46,285.

Rangement de nombres décimaux

Exemple : range les nombres 12,6 ; 126,4 ; 12,64 ; 12,46 dans l'ordre croissant.

On repère le plus petit, puis le plus petit des nombres qui restent, et ainsi de suite.

On obtient donc : 12,46 < 12,6 < 12,64 < 126,4.

Encadrer et intercaler

Définitions

Encadrer un nombre, c'est trouver un nombre plus petit et un nombre plus grand que lui. L'encadrement de 7,38 à l'unité est 7 < 7,38 < 8 ; au dixième : 7,3 < 7,38 < 7,4.
Intercaler un nombre entre deux nombres, c'est trouver un nombre compris entre les deux.

Exemple : intercale un nombre entre 4,6 et 4,7.

On écrit les deux nombres avec un chiffre de plus : 4,6 = 4,60 et 4,7 = 4,70.
Entre 60 centièmes et 70 centièmes, il y a 61, 62, … 69 centièmes : par exemple 4,6 < 4,65 < 4,7.

Remarque : entre deux nombres décimaux différents, on peut toujours intercaler un autre nombre décimal (il suffit d'ajouter des zéros, puis de prendre un nombre « entre les deux »).

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode : placer un point d'abscisse donnée (l'axe commence à 0)

Placer le point A d'abscisse 1,7.

L'axe commence à 0 : c'est l'origine. On repère d'abord les nombres écrits sous l'axe.

Méthode : placer un point d'abscisse donnée (l'axe ne commence pas à 0)

Placer le point B d'abscisse 2,47.

Ici, l'axe ne commence pas à 0 : on ne peut pas compter depuis l'origine.

Méthode : lire l'abscisse d'un point (l'axe commence à 0)

Quelle est l'abscisse du point C ?

L'axe commence à 0. On cherche d'abord la valeur d'une graduation.

Méthode : lire l'abscisse d'un point (l'axe ne commence pas à 0)

Quelle est l'abscisse du point D ?

Il n'y a pas de 0 sur l'axe : on ne compte pas depuis le début de l'axe.

Méthode : comparer deux nombres décimaux

Compare 34,158 et 34,16.

On part des deux nombres à comparer.

Méthode : décomposer un nombre décimal

Décompose le nombre 47,206.

On repère chaque chiffre et sa position.

Méthode : ne pas confondre « chiffre des... » et « nombre de... »

84,153

On reprend un nombre décimal.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Comparer deux nombres décimaux »

On compare les parties entières de 9,42 et 9,4 : elles sont égales.Ce que je sais.

Or, 9,4 = 9,40, donc on compare les chiffres des dixièmes (4 = 4), puis des centièmes (2 > 0).On énonce la règle et on l'applique.

Donc 9,42 > 9,4.Conclusion.

Exercices

Exercice 1

Écris en toutes lettres le nombre 3 067,452, puis donnes-en une décomposition.

Exercice 2

Compare les nombres 58,371 et 58,38. Rédige ta réponse.

Exercice 3

Range dans l'ordre décroissant : 7,05 ; 7,5 ; 70,5 ; 7,505.

Exercice 4

Sur une demi-droite graduée, place les points R(2,3) et S(0,8).

Exercice 5

Pour le nombre 62,489, donne : a. le chiffre des centièmes ; b. le nombre de centièmes. Explique la différence entre les deux réponses.

history_edu Un peu d'histoire

Les nombres décimaux tels que nous les écrivons (avec une virgule) sont une invention récente à l'échelle de l'histoire des mathématiques : c'est le savant flamand Simon Stevin qui, en 1585, en publie le premier exposé complet et accessible, dans un petit livre intitulé La Thiende (« Le Dixième »). Il y explique cette méthode aux « astrologues, arpenteurs, tapissiers, tonneliers, maîtres de la monnaie et à tous marchands », pour qu'ils puissent calculer sans passer par les fractions. Certaines civilisations, comme les mathématiciens arabes et chinois, utilisaient déjà des idées proches bien avant lui, mais c'est Stevin qui a rendu cette écriture vraiment utilisable par tous en Europe.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz