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Distance et cercles

Géométrie Cours de mathématiques de 6e (sixième) · chapitre 4 · Distance entre deux points · Milieu d'un segment · Vocabulaire du cercle · Distance à un point

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Distance entre deux points

Définition

La distance entre deux points A et B est la longueur du segment [AB].

Notation	Signification	Figure
AB	C'est la longueur du segment [AB].

Remarque : le plus court chemin pour aller de A à B est le segment [AB].

Milieu d'un segment

Définition

Le milieu du segment [RT] est le point du segment [RT] qui est équidistant (à la même distance) des points R et T.

Exemple : trace un segment [RT] de longueur 6 cm puis construis son milieu A.

Vocabulaire du cercle

Définition

Un cercle est l'ensemble des points équidistants d'un point appelé centre. Cette distance est le rayon du cercle.
Autrement dit, le cercle (C) de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M tels que OM = r.

Le centre est le point équidistant de tous les points du cercle.	Le point O est le centre du cercle.
Un rayon est un segment joignant un point du cercle à son centre.	Le segment [OA] est un rayon du cercle.
Une corde est un segment joignant deux points du cercle.	Le segment [MN] est une corde du cercle.
Un diamètre est un segment joignant deux points du cercle et passant par son centre. Autrement dit, c'est une corde qui passe par le centre du cercle.	Le segment [EF] est un diamètre du cercle.

Remarque 1 : par commodité de langage, on appelle aussi « rayon » la longueur du rayon d'un cercle, et « diamètre » la longueur de son diamètre.

Remarque 2 : le diamètre d'un cercle est égal au double de son rayon, et il est toujours supérieur ou égal à la longueur de n'importe quelle corde.

Remarque 3 : un rayon est un segment parmi une infinité (chaque point du cercle donne un rayon différent), alors que le rayon est une longueur : elle est unique. Il en va de même pour un diamètre et le diamètre : remarquez le rôle de l'article indéfini (« un », un segment parmi d'autres) et de l'article défini (« le », une valeur unique).

Définition

Un disque est l'ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à un nombre donné (le rayon) d'un point donné (le centre).
Autrement dit, le disque de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M tels que OM ≤ r.

Distance à un point

Cercle

Propriétés

Si un point appartient au cercle de centre O et de rayon r, alors sa distance à O est égale à r.
Si la distance d'un point à O est égale à r, alors ce point appartient au cercle de centre O et de rayon r.

Règle

Le cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble des points situés exactement à une distance r de O.

Exemple : un cercle a pour centre O et pour rayon 2 cm.

Un point A est tel que OA = 2 cm. Donc A appartient au cercle.
Un point B est tel que OB = 5 cm. Or, 5 cm est différent de 2 cm. Donc B n'appartient pas au cercle.

Disque

Propriétés

Si la distance d'un point à O est inférieure ou égale à r, alors ce point appartient au disque de centre O et de rayon r.
Si la distance d'un point à O est supérieure à r, alors ce point n'appartient pas au disque de centre O et de rayon r.

Règle

Le disque de centre O et de rayon r est l'ensemble des points dont la distance à O est inférieure ou égale à r.

Exemple : reprenons le même cercle (centre O, rayon 2 cm).

Un point C est tel que OC = 1,5 cm. Or, 1,5 cm est inférieur à 2 cm. Donc C appartient au disque (mais pas au cercle, puisque sa distance à O n'est pas exactement 2 cm).
Un point D est tel que OD = 4 cm. Or, 4 cm est supérieur à 2 cm. Donc D n'appartient pas au disque.

OP ≈ 3.0 (le rayon vaut 2) : P n'appartient ni au cercle, ni au disque (il est à l'extérieur).

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode : construire le milieu d'un segment à la règle

On trace un segment [RT] de longueur 6 cm.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Un point appartient-il à un cercle ou à un disque ? »

On sait que OM = 3,2 cm et que le cercle de centre O a pour rayon 5 cm.On énonce les données.

Or, 3,2 cm est inférieur à 5 cm.On compare les distances.

Donc M appartient au disque de centre O et de rayon 5 cm, mais pas au cercle.Conclusion.

Exercices

Exercice 1

Trace un segment [PQ] de longueur 8 cm, puis construis son milieu à la règle.

Exercice 2

Un cercle a pour centre O et pour rayon 4 cm. Un point K est tel que OK = 4 cm, et un point L est tel que OL = 6 cm. K et L appartiennent-ils au cercle ? Au disque ? Rédige tes réponses.

Exercice 3

Sur un cercle de centre O, place deux points E et F tels que [EF] soit un diamètre, puis deux points M et N tels que [MN] soit une corde qui n'est pas un diamètre.

history_edu Un peu d'histoire

Le compas et la règle sont les deux seuls instruments que les mathématiciens grecs de l'Antiquité s'autorisaient pour leurs constructions géométriques. Vers 300 av. J.-C., à Alexandrie (en Égypte), le mathématicien grec Euclide rassemble dans son livre Les Éléments toutes les connaissances de géométrie de son époque, en les démontrant à partir de règles très simples. Ce livre restera la référence absolue pour apprendre la géométrie pendant plus de 2 000 ans, jusqu'au 19e siècle !

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz