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Solides et volumes

Géométrie Cours de mathématiques de 6e (sixième) · chapitre 19 · Reconnaître les solides · Voir un solide sous différents angles · Mesurer un volume en cubes

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Reconnaître les solides

Un solide est limité par des faces planes (des polygones ou des disques) ou par des surfaces courbes. Deux faces se rejoignent le long d'une arête ; les arêtes se rejoignent en des sommets. Les arêtes cachées sont dessinées en pointillés.

Cube

6 faces carrées · 12 arêtes · 8 sommets

Pavé droit

6 faces rectangulaires · 12 arêtes · 8 sommets

Prisme droit

2 bases polygonales et des faces rectangulaires (ici 5 faces · 9 arêtes · 6 sommets)

Cylindre

2 bases (disques) et une surface courbe · pas de sommet

Pyramide

1 base polygonale et des faces triangulaires qui se rejoignent en un sommet (ici 5 faces · 8 arêtes · 5 sommets)

Cône

1 base (disque) et une surface courbe · 1 sommet

Boule

une seule surface courbe (la sphère) · pas d'arête, pas de sommet

Remarques : le cube est un pavé droit particulier (toutes ses faces sont des carrés), et le pavé droit est un prisme droit particulier. Le cylindre, le cône et la boule ont des surfaces courbes : ils « roulent ».

Voir un solide sous différents angles

Exemple : voici un assemblage de cubes, et ce qu'on en voit de face, de dessus, de gauche et de droite.

La vue de face est prise depuis l'avant (faces blanches), la vue de dessus depuis le haut (faces bleues).

Vue de face

Vue de dessus

Vue de gauche

Vue de droite

Dans chaque vue, un carré représente une « colonne » de cubes, quelle que soit sa profondeur : on ne voit pas les cubes cachés derrière.
Les vues de gauche et de droite sont symétriques l'une de l'autre.

Mesurer un volume en cubes

Définition

Le volume d'un solide est la mesure de la place qu'il occupe dans l'espace. Le centimètre cube, noté cm³, est une unité de volume : 1 cm³ est le volume d'un cube d'arête 1 cm.

Règle

Pour déterminer le volume d'un assemblage de cubes d'arête 1 cm, il suffit de compter les cubes (sans oublier ceux qui sont cachés). Le volume s'exprime alors en cm³.

Exemple : ces deux solides ont le même volume, 12 cm³, alors qu'ils n'ont pas la même forme.

1 cm³

3 × 2 × 2 = 12 cubes

4 + 8 = 12 cubes

Le premier solide est un pavé de 3 cubes sur 2 cubes sur 2 cubes : 3 × 2 × 2 = 12 cubes, soit 12 cm³.
Le second est formé de 4 cubes devant et de 8 cubes derrière (deux étages de 4) : 4 + 8 = 12 cubes, soit 12 cm³.

Remarque : pour compter sans oublier de cube caché, on peut compter étage par étage, ou colonne par colonne à partir de la vue de dessus.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : observer un solide sous tous les angles

Cube : 6 faces carrées · 12 arêtes · 8 sommets.

Méthode 2 : construire un assemblage de cubes, ses vues et son volume

Volume : 11 cubes, soit 11 cm³

Vue de face

Vue de dessus

Vue de gauche

Vue de droite

Méthode 3 : même volume, forme différente

Un pavé de 3 × 2 × 2 = 12 cubes : 12 cm³.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer le volume d'un assemblage de cubes »

Étage du bas : 3 × 4 = 12 cubes.1. On compte étage par étage.

Étage du haut : 5 cubes.2. Sans oublier les cubes cachés.

12 + 5 = 17 cubes, donc le volume est 17 cm³.3. Chaque cube d'arête 1 cm mesure 1 cm³.

Exercices

Exercice 1

Quel est le nom de chaque solide ? a) Il a deux bases qui sont des disques. b) Il a une base polygonale et des faces triangulaires qui se rejoignent en un sommet. c) Il a 6 faces carrées.

Exercice 2

Combien un pavé droit a-t-il de faces, d'arêtes et de sommets ?

Exercice 3

Combien une pyramide à base carrée a-t-elle de faces, d'arêtes et de sommets ?

Exercice 4

Un pavé est formé de 4 cubes sur 3 cubes sur 2 cubes, chacun d'arête 1 cm. Quel est son volume ?

Exercice 5

Un grand cube est formé de 3 cubes sur 3 cubes sur 3 cubes d'arête 1 cm. Quel est son volume ?

Exercice 6

Vu de dessus, un assemblage montre 5 carrés, et chaque colonne contient exactement 2 cubes. Quel est son volume ?

Exercice 7

Combien de cubes de 1 cm³ faut-il pour remplir une boîte en forme de pavé de 5 cm sur 4 cm sur 3 cm ?

Exercice 8

Vrai ou faux : « deux solides qui ont le même volume ont forcément la même forme ».

history_edu Un peu d'histoire

Dans l'Antiquité, le philosophe grec Platon s'émerveillait de cinq solides très réguliers, dont toutes les faces sont des polygones identiques : le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre. On les appelle encore les « solides de Platon », et on les retrouve dans les dés de jeux de rôle ! Au 18e siècle, le mathématicien suisse Leonhard Euler remarque une propriété étonnante : pour ces solides (sans trou), le nombre de faces moins le nombre d'arêtes plus le nombre de sommets vaut toujours 2. Vérifie avec le cube : 6 − 12 + 8 = 2 !

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz