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Initiation à l'algèbre
Nombres et calculs Cours de mathématiques de 6e (sixième) · chapitre 18 · Qu'est-ce qu'un problème algébrique ? · Résoudre un problème algébrique
Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.
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Définition
Qu'est-ce qu'un problème algébrique ?
L'algèbre est un outil qui permet de résoudre des problèmes en raisonnant sur des nombres sans connaître leur valeur au départ. On représente ces nombres inconnus (par une barre, une boîte, un fruit sur une balance… et plus tard par une lettre), puis on raisonne jusqu'à les trouver.
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Résoudre un problème algébrique
A
Avec un schéma en barres
Exemple : Léa, Tom et Sam se partagent 150 billes. Tom a 25 billes de plus que Léa, et Sam a 10 billes de moins que Léa. Combien de billes chacun a-t-il ?
3 barres + 25 − 10 = 150On met les barres bout à bout : + 25 − 10, c'est + 15.
3 barres = 150 − 15 = 135On retire les 15 billes « en trop ».
1 barre = 135 ÷ 3 = 45Les trois barres sont égales : on partage en 3.
Léa : 45 billes ; Tom : 45 + 25 = 70 billes ; Sam : 45 − 10 = 35 billes.On calcule chaque part, et on vérifie : 45 + 70 + 35 = 150.
B
Avec une balance
Exemple : on a fait deux pesées. Toutes les oranges ont la même masse. Quelle est la masse d'une orange ? Celle du melon ?
Dans la 2e pesée, « 2 oranges + 1 melon » pèsent 1,6 kg.On remplace par la 1re pesée : il reste 1 orange + 1,6 kg = 1,85 kg.
1 orange = 1,85 kg − 1,6 kg = 0,25 kgUne orange pèse 0,25 kg, soit 250 g.
1 melon = 1,6 kg − 2 × 0,25 kg = 1,1 kgOn revient à la 1re pesée.
Remarque : une balance en équilibre reste en équilibre si l'on retire (ou ajoute) la même masse des deux côtés. C'est l'idée qui sert, plus tard, à résoudre les équations.
draw Méthode
Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).
M
Méthode 1 : construire un schéma en barres, pas à pas
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On représente la part de Léa par une barre « ? ». Tom a la même barre plus 25 billes ; Sam a la même barre moins 10 billes. En tout : 150 billes.
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On met les trois barres bout à bout : trois barres « ? », plus 25, moins 10, font 150.
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+ 25 puis − 10, c'est + 15 en tout. Sans ces 15 billes, les trois barres valent 150 − 15 = 135.
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Les trois barres sont égales : chacune vaut 135 ÷ 3 = 45.
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Léa a 45 billes, Tom 70 et Sam 35. Vérification : 45 + 70 + 35 = 150.
M
Méthode 2 : raisonner avec une balance, pas à pas
1
Première pesée : 2 oranges et 1 melon pèsent 1,6 kg. (Toutes les oranges ont la même masse.)
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Deuxième pesée : 3 oranges et 1 melon pèsent 1,85 kg. Il y a juste une orange de plus.
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Dans la deuxième pesée, on remplace « 2 oranges et 1 melon » par ce qu'ils pèsent : 1,6 kg.
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Une orange pèse donc 1,85 − 1,6 = 0,25 kg.
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Le melon pèse 1,6 − (2 × 0,25) = 1,6 − 0,5 = 1,1 kg.
M
Méthode 3 : équilibrer la balance
À gauche : 4 boules vertes et un poids de 5 kg. À droite : 13 kg.
edit Exercices et rédaction
Rédaction type : « Résoudre un problème avec un schéma en barres »
Je représente la quantité inconnue par une barre.1. On choisit l'inconnue (la plus petite part, souvent).
J'écris ce que valent les barres ensemble, puis je retire ce qui dépasse.2. On se ramène à des barres égales.
Je divise par le nombre de barres, puis je calcule chaque part.3. On trouve la valeur d'une barre.
Je vérifie avec l'énoncé et je réponds par une phrase.4. On contrôle le total.
Exercices
Exercice 1
Deux frères ont 26 ans à eux deux. L'aîné a 4 ans de plus que le cadet. Quel âge a chacun ?
Exercice 2
Un stylo et une gomme coûtent ensemble 3,20 €. Le stylo coûte 2 € de plus que la gomme. Quel est le prix de chacun ?
Exercice 3
La somme de trois nombres entiers qui se suivent est 72. Quels sont ces nombres ?
Exercice 4
Sur une balance en équilibre, il y a 3 boîtes identiques et un poids de 2 kg d'un côté, et un poids de 11 kg de l'autre. Quelle est la masse d'une boîte ?
Exercice 5
Deux pesées : 2 cubes et 1 boule pèsent 10 kg ; 3 cubes et 1 boule pèsent 13 kg. Quelle est la masse d'un cube ? d'une boule ?
Exercice 6
Je pense à un nombre. Je le multiplie par 5, puis je retire 8. J'obtiens 37. Quel est mon nombre ?
Exercice 7
Un rectangle a un périmètre de 30 cm. Sa longueur mesure 3 cm de plus que sa largeur. Quelles sont ses dimensions ?
Exercice 8
Inès, Zoé et Lina se partagent 90 €. Zoé reçoit 10 € de plus qu'Inès, et Lina reçoit le double de ce que reçoit Inès. Combien reçoit chacune ?
history_edu Un peu d'histoire
history_edu Un peu d'histoire
Le mot « algèbre » vient de l'arabe al-jabr, qui figure dans le titre d'un livre écrit vers 820 à Bagdad par le savant Al-Khwârizmî. Al-jabr signifie « la restauration » : c'est l'opération qui consiste à rééquilibrer une égalité, un peu comme on rééquilibre une balance. Le nom d'Al-Khwârizmî, lui, a donné le mot « algorithme ». Bien avant lui, le Grec Diophante d'Alexandrie (3e siècle) résolvait déjà des problèmes avec des nombres inconnus, et les Babyloniens savaient en résoudre il y a près de 4 000 ans. L'usage d'une lettre comme x pour l'inconnue ne s'est imposé qu'au 17e siècle, avec Descartes.
Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.
Faire le quiz