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Probabilités

Données et probabilités Cours de mathématiques de 6e (sixième) · chapitre 17 · Expérience aléatoire · Calculs de probabilités · Fréquence et probabilité

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Expérience aléatoire

Définition 1

On dit qu'une expérience est aléatoire lorsqu'on ne peut pas prévoir quel va être son résultat. Les différents résultats possibles sont appelés les issues de l'expérience aléatoire.

Exemples :

On lance un dé à jouer à quatre faces numérotées de 1 à 4. Les issues sont : ${1; 2; 3; 4}$ .
On tire une carte parmi 5 cartes numérotées de 1 à 5. Les issues sont : ${1; 2; 3; 4; 5}$ .

Définition 2

Un évènement est un ensemble d'issues d'une expérience aléatoire.
Lorsqu'un évènement est sûr de se réaliser, on dit qu'il est certain.
Lorsqu'un évènement n'a aucune chance de se réaliser, on dit qu'il est impossible.

Exemples :

On tire une bille dans un sac contenant des billes rouges, bleues et vertes.
« La bille tirée est rouge. » est un évènement.
L'évènement « La bille tirée n'est pas jaune. » est un évènement certain (il n'y a aucune bille jaune dans le sac).
On lance un dé à jouer à quatre faces numérotées de 1 à 4.
« Obtenir un nombre pair. » est un évènement.
L'évènement « Obtenir le nombre 5. » est un évènement impossible (le dé n'a pas de face numérotée 5).

Calculs de probabilités

Définition

La probabilité d'un évènement est un nombre compris entre 0 et 1 (c'est-à-dire entre 0 et 100 %), qui mesure les chances que cet évènement se réalise.

Règle

Lorsque les issues d'une expérience aléatoire ont toutes autant de chances de se réaliser, c'est-à-dire que les probabilités de réalisation des différentes issues sont égales, la probabilité d'un évènement s'obtient en divisant le nombre d'issues favorables à l'évènement par le nombre total d'issues de l'expérience.

Probabilité d'un évènement $= \frac{Nombre d’issues favorables}{Nombre total d’issues}$

Remarque : la probabilité d'un évènement impossible est 0, celle d'un évènement certain est 1.

Exemples :

On tire une bille dans un sac contenant 3 billes rouges et 5 billes bleues, indiscernables au toucher. Chaque bille a autant de chance d'être tirée.
La probabilité de « Tirer une bille rouge. » est :
$3$ chances sur $8$ ; ou $\frac{3}{8}$ ; ou $0, 375$ ; ou $37, 5 %$ .

Rouges : 3Bleues : 5

On lance un dé à jouer à quatre faces. Chaque face a autant de chance de tomber.
La probabilité de « Obtenir un nombre pair. » est :
$2$ chances sur $4$ ; ou $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ; ou $0, 5$ ; ou $50 %$ .

Fréquence et probabilité

Définition

Quand on répète une expérience aléatoire, la fréquence d'un résultat est le quotient

\frac{nombre de fois o \overset{ˋ}{u} il est obtenu}{nombre total d’essais}

Propriété

Plus on répète l'expérience, plus la fréquence d'un résultat se rapproche de sa probabilité. Sur peu d'essais, elle peut en être assez éloignée : le dé « ne se souvient pas » des lancers précédents.

Simulation : on lance un dé équilibré et on compte les « 6 ». La probabilité d'obtenir 6 est $\frac{1}{6} \approx 0, 17$ .

Aucun lancer pour l'instant.

Trait rouge : la probabilité $\frac{1}{6}$ . Barre bleue : la fréquence observée des « 6 ».

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Calculer la probabilité d'un évènement

On considère un sac contenant 4 billes rouges et 6 billes bleues, indiscernables au toucher. On tire une bille au hasard. Quelle est la probabilité de l'évènement « Tirer une bille rouge » ?

Rouges : 4Bleues : 6

Le sac contient

4 + 6 = 10

billes en tout.

On compte le nombre total d'issues. Chaque bille a autant de chance d'être tirée.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer la probabilité d'un évènement »

On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. Les têtes de cœur sont le valet, la dame et le roi de cœur. Quelle est la probabilité de tirer une tête de cœur ?

Le jeu contient 52 cartes en tout, ayant toutes autant de chances d'être tirées.On compte le nombre total d'issues.

3 de ces cartes sont des têtes de cœur (valet, dame, roi).On compte le nombre d'issues favorables.

Donc la probabilité de « Tirer une tête de cœur » est

\frac{3}{52}

.Conclusion.

Exercices

Exercice 1

On lance un dé à jouer à huit faces numérotées de 1 à 8. Quelles sont les issues de cette expérience aléatoire ?

Exercice 2

On lance le dé à huit faces de l'exercice 1. L'évènement « Obtenir un multiple de 3. » est-il certain, impossible, ou ni l'un ni l'autre ? Justifie.

Exercice 3

Une roue est partagée en 8 secteurs identiques : 3 jaunes et 5 verts. On fait tourner la roue. Calcule la probabilité d'obtenir un secteur jaune.

Exercice 4

On lance le dé à huit faces de l'exercice 1. Calcule la probabilité de l'évènement « Obtenir un multiple de 3. ».

Exercice 5

Un sac contient des billes rouges et des billes bleues, indiscernables au toucher, 12 en tout. La probabilité de tirer une bille rouge est

\frac{1}{4}

. Combien y a-t-il de billes rouges dans le sac ? Rédige ta réponse.

history_edu Un peu d'histoire

Les probabilités naissent officiellement d'une correspondance entre deux mathématiciens français, Blaise Pascal et Pierre de Fermat, en 1654. Un joueur, le chevalier de Méré, avait posé à Pascal une question restée sans réponse satisfaisante depuis des siècles : si une partie de dés ou de jeu de hasard est interrompue avant la fin, comment répartir équitablement les mises entre les joueurs, selon leurs chances respectives de gagner à ce moment-là ? En cherchant à résoudre ce « problème des partis », Pascal et Fermat posent, sans le savoir, les toutes premières bases mathématiques rigoureuses du calcul des chances. Il faudra ensuite près d'un siècle pour que ces idées, d'abord réservées aux jeux de hasard, trouvent des applications sérieuses : les compagnies d'assurance du XVIIIe siècle sont parmi les premières à utiliser les probabilités pour calculer le montant des primes, en s'appuyant sur les chances qu'un évènement (incendie, naufrage, décès) se produise.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz