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Aire et périmètre

Grandeurs et mesures Cours de mathématiques de 6e (sixième) · chapitre 16 · Périmètre et aire d'une figure · Périmètres et longueurs de figures usuelles · Aires de figures usuelles · Unités d'aire

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Périmètre et aire d'une figure

Définitions

Le périmètre d'une figure est la mesure de la longueur de son contour, exprimée dans une unité de longueur donnée.
L'aire d'une figure est la mesure de sa surface, exprimée dans une unité d'aire donnée.

Exemple :

Le périmètre de la figure orange est de 16 unités de longueur (celle du quadrillage).
Son aire est de 12 carreaux (celle du quadrillage).

Remarque : l'aire d'une figure dépend de l'unité d'aire choisie. Il faut donc toujours préciser celle qui est utilisée.

Périmètres et longueurs de figures usuelles

Le cercle est une courbe (une ligne) : on parle de sa longueur. Le disque est la surface qu'il délimite : on parle de son périmètre (qui est la longueur du cercle qui le borde) et de son aire.

Périmètre $= 2 \times (L + l)$

Périmètre $= 4 \times c$

Longueur $= 2 \times π \times r = π \times D$

Exemple :

Quelle est la longueur d'un cercle de rayon 5 cm ?

Longueur

= 2 \times π \times r

On écrit la formule.

Longueur

= 2 \times π \times 5 cm

On remplace r par 5 cm.

Longueur

= 10 π cm

On obtient la valeur exacte.

Longueur

\approx 31, 42 cm

On utilise la touche π de la calculatrice, on obtient la valeur arrondie au centième.

La longueur d'un cercle de rayon 5 cm est $10 π$ cm, soit environ 31,42 cm. On peut aussi la calculer avec le diamètre : $D = 2 \times r = 10$ cm, donc Longueur $= π \times D = π \times 10 cm = 10 π$ cm, on retrouve bien le même résultat.

Aires de figures usuelles

Aire $= L \times l$

Aire $= c \times c$

Exemple : quelles sont les aires du rectangle et du carré ci-dessous ?

Un rectangle de longueur 6 cm et de largeur 4 cm, un carré de côté 5 cm.

Aire du rectangle $= L \times l = 6 cm \times 4 cm = 24 {cm}^{2}$
Aire du carré $= c \times c = 5 cm \times 5 cm = 25 {cm}^{2}$

Unités d'aire

Le mètre carré et ses sous-multiples

Règle

L'unité d'aire usuelle est le mètre carré (noté m²), qui représente l'aire d'un carré d'un mètre de côté. On utilise aussi ses sous-multiples : dm², cm², mm².

Un centimètre carré (cm²) est l'aire d'un carré d'un centimètre de côté.
Un millimètre carré (mm²) est l'aire d'un carré d'un millimètre de côté.

Dans 1 cm², il y a 100 mm².

Conversions

1 m² = 100 dm²	$1 {dm}^{2} = \frac{1}{100} m^{2} = 0, 01 m^{2}$
1 dm² = 100 cm²	$1 {cm}^{2} = \frac{1}{100} {dm}^{2} = 0, 01 {dm}^{2}$

Exemple 1 : convertis 6,2 dm² en cm² et 350 dm² en m².

La mesure exprimée en cm² est cent fois plus grande que la mesure exprimée en dm². La mesure exprimée en m² est cent fois plus petite que la mesure exprimée en dm².
Donc $6, 2 {dm}^{2} = 620 {cm}^{2}$ et $350 {dm}^{2} = 3, 5 m^{2}$ .

Exemple 2 : convertis 0,527 dm² en cm² et 8,3 cm² en dm².

$0, 527 {dm}^{2} = 52, 7 {cm}^{2}$ et $8, 3 {cm}^{2} = 0, 083 {dm}^{2}$ .

Remarques :

Pour passer d'une unité d'aire à l'unité immédiatement inférieure, on multiplie par 100.
Pour passer d'une unité d'aire à l'unité immédiatement supérieure, on divise par 100.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Utiliser un tableau de conversion des aires

Règle

Pour les terrains, on utilise aussi deux unités d'aire particulières :

L'are (noté a) est une autre écriture du dam² : c'est l'aire d'un carré de 10 m de côté, soit 100 m².
L'hectare (noté ha) est une autre écriture du hm² : c'est l'aire d'un carré de 100 m de côté, soit 100 a, soit 10 000 m².

Comme chaque unité d'aire vaut 100 fois la suivante, chaque colonne du tableau de conversion occupe deux cases (au lieu d'une seule pour les longueurs).

km²		hm² (ha)		dam² (a)		m²		dm²		cm²		mm²

On veut convertir 3,25 ha. On repère que ha correspond à la colonne hm² (surlignée), et a à la colonne dam² (surlignée).

La partie entière (3) s'écrit dans la case des unités de la colonne ha.

La partie décimale (25) continue dans les deux cases de la colonne a, juste à droite.

Pour lire le résultat en a : on lit tous les chiffres jusqu'à la colonne a incluse → 325 a.

Pour lire le résultat en m² : on lit tous les chiffres jusqu'à la colonne m² incluse → 32 500 m².

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer le périmètre d'un rectangle »

Périmètre

= 2 \times (L + l)

On écrit la formule.

Périmètre

= 2 \times (... + ...)

On remplace L et l par les valeurs données.

Périmètre

= ...

On calcule.

Rédaction type : « Convertir une aire »

La mesure exprimée en cm² est cent fois plus grande que la mesure exprimée en dm².
Donc ... dm² = ... cm².

Exercices

Exercice 1

Calcule le périmètre d'un rectangle de longueur 8 cm et de largeur 5 cm.

Exercice 2

Calcule le périmètre d'un carré de côté 6 cm.

Exercice 3

Calcule la longueur d'un cercle de rayon 4 cm. Donne la valeur exacte, puis la valeur arrondie au centième.

Exercice 4

Calcule l'aire d'un rectangle de longueur 9 cm et de largeur 3 cm, puis celle d'un carré de côté 6 cm.

Exercice 5

Convertis 2,8 dm² en cm², puis 540 cm² en dm².

Exercice 6

Un champ mesure 4,5 ha. Convertis cette aire en ares (a), puis en m².

history_edu Un peu d'histoire

Avant la Révolution française, mesurer un terrain était un vrai casse-tête. L'unité la plus courante, l'arpent, changeait de valeur selon l'endroit : un arpent de Paris valait environ 34 ares, un « arpent commun » environ 42 ares, et un arpent « royal » (celui des eaux et forêts) environ 51 ares. Ailleurs en France, selon les provinces, un arpent pouvait valoir de 32 à 78 ares (plus du double d'un bout à l'autre du pays, sous le même nom !) Il existait aussi le journal, la surface qu'un homme pouvait labourer en une seule journée, qui variait elle aussi selon la qualité du sol.

Carrés proportionnels à l'aire : « un arpent » ne représentait pas du tout la même surface partout.

Ce chaos posait de vrais problèmes : acheter, vendre ou faire payer l'impôt sur un terrain devenait injuste dès qu'on changeait de région, puisque le même mot ne représentait pas la même surface. C'est pour y mettre fin qu'en 1795, en même temps que le mètre (voir l'histoire du chapitre sur les triangles), les révolutionnaires créent l'are : une unité d'aire unique, valable partout en France, qui ne dépend d'aucune coutume locale. L'hectare (100 a) suit naturellement pour les grandes surfaces comme les fermes.

Le changement n'a pourtant pas été immédiat : malgré la loi de 1795, les anciennes unités sont restées si ancrées dans les habitudes qu'il a fallu attendre une loi de 1837 pour rendre le système métrique obligatoire partout en France, à partir du 1er janvier 1840 (45 ans plus tard !) Dans certaines campagnes, arpents et journaux ont continué à être utilisés dans les conversations bien après cette date.

La quadrature du cercle : un problème vieux de plus de deux mille ans

Il existe un problème inverse à celui du cercle : peut-on construire, seulement à la règle et au compas, un carré ayant exactement la même aire qu'un cercle donné ? Ce défi, appelé la quadrature du cercle, est très ancien : dès environ 1650 avant J.-C., un scribe égyptien propose déjà, dans un texte connu aujourd'hui sous le nom de papyrus Rhind, un carré censé avoir la même aire qu'un cercle donné, une approximation, pas une solution exacte.

Vers 430 avant J.-C., le philosophe grec Anaxagore aurait réfléchi à ce problème alors qu'il était emprisonné à Athènes. Peu après, le géomètre Hippocrate de Chios parvient à un résultat remarquable : il réussit à construire un carré ayant exactement la même aire que certaines figures en forme de croissant, appelées lunules, délimitées par des arcs de cercle. Sa méthode ne permet pas de « carrer » le cercle entier, mais elle donne longtemps espoir aux mathématiciens qu'une solution existe.

La lunule d'Hippocrate : sur un triangle rectangle en C, l'aire des deux croissants (orange et bleu clair) est exactement égale à l'aire du triangle ABC.

Pendant plus de deux mille ans, d'innombrables mathématiciens et amateurs ont proposé des « solutions » à la quadrature du cercle, au point qu'en 1775, l'Académie des sciences de Paris, lassée de recevoir des preuves toujours fausses, décide de ne plus en examiner aucune.

La réponse définitive n'arrive qu'en 1882 : le mathématicien allemand Ferdinand von Lindemann démontre que le nombre π est un nombre transcendant (il n'est solution d'aucune équation à coefficients entiers), ce qui prouve que la quadrature du cercle est en réalité impossible à réaliser à la règle et au compas. L'expression « chercher la quadrature du cercle » est restée dans le langage courant pour désigner une tâche impossible.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz