Accueil › Cours de maths 6e › Droites parallèles et perpendiculaires

Droites parallèles et perpendiculaires

Géométrie Cours de mathématiques de 6e (sixième) · chapitre 2 · Vocabulaire de base · Droites perpendiculaires · Droites parallèles · Position relative de deux droites · Médiatrice d'un segment

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

Ouvrir le chapitre interactif

menu_book Le cours

Vocabulaire de base

Méthode

On désigne un point par une lettre capitale : A, B, C, D, ... , M, N, ...

Exemples


point libre	point sur une droite	sommet d'un angle	intersection

Notation	Signification	Figure
[EF]	Se lit « segment [EF] ». C'est le segment d'extrémités E et F.
(EF)	Se lit « droite (EF) ». C'est la droite qui passe par les points E et F, prolongée à l'infini des deux côtés.
(xy)	Se lit « droite (xy) ». C'est la droite désignée uniquement par sa direction, sans faire référence à un point particulier. Les lettres x et y (minuscules) représentent les deux directions opposées de la droite, qui s'étend à l'infini de chaque côté.
[EF)	Se lit « demi-droite [EF) ». C'est la demi-droite d'origine E qui passe par F, prolongée au-delà de F seulement.
[Ox)	Se lit « demi-droite [Ox) ». C'est la demi-droite d'origine O (un point précis, en majuscule) qui s'étend à l'infini dans la direction x (en minuscule, sans autre point de référence).
G ∈ (d) H ∉ (d)	Le point G appartient à la droite (d). Le point H n'appartient pas à la droite (d).

Droites perpendiculaires

Définition

Deux droites sont sécantes si elles se coupent en un seul point, appelé point d'intersection.

Définition

Deux droites sont perpendiculaires si elles sont sécantes en formant un angle droit. On note (d) ⊥ (d').

Exemple : construis la droite (d') perpendiculaire à la droite (d) passant par le point M.

Construction à la règle et à l'équerre :

On place un côté de l'angle droit de l'équerre sur la droite (d).

Droites parallèles

Définition

Deux droites sont parallèles si elles ne sont pas sécantes. On note (d) // (d').

Exemple : construis la droite (d'') parallèle à la droite (d) passant par le point N.

Construction à la règle et à l'équerre :

On place un côté de l'angle droit de l'équerre sur la droite (d).

Position relative de deux droites

Propriété 1

Deux droites sont : soit sécantes ; soit parallèles.

Propriété 2

Deux droites sécantes sont : soit perpendiculaires ; soit non perpendiculaires.

Remarque : on peut résumer tout cela dans une carte mentale, selon le nombre de points communs aux deux droites.

Médiatrice d'un segment

Définition

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment, en son milieu.

Exemple : construis la médiatrice du segment [AB].

Construction à la règle et à l'équerre :

On mesure le segment [AB] à la règle graduée : le 0 est posé sur A, on lit 8 cm sur B.

Utiliser une réquerre (règle-équerre)

La réquerre (ou règle-équerre) combine une règle graduée et un angle droit intégré en son centre (repéré par le 0) : un seul outil pour tracer perpendiculaires, parallèles et médiatrices, sans avoir à poser une règle séparée.

Perpendiculaire à (d) passant par M :

On pose la réquerre perpendiculairement à (d) : le trait fin qui traverse sa largeur reste sur (d).

Parallèle à (d) passant par A (méthode 1 : deux perpendiculaires successives) :

Première perpendiculaire (Δ) : réquerre posée perpendiculairement à (d), on la fait glisser vers A.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode : tracer une parallèle sur un quadrillage, sans équerre (la méthode du « L »)

On lit sur (d) le déplacement d'un nœud du quadrillage à un autre (un « L ») ; le même déplacement, refait depuis M, donne un deuxième point de la parallèle.

Une droite (d), oblique, et un point M qui n'est pas sur (d).

Choisis une droite (d), puis Lecture. Orange : le déplacement horizontal ; bleu : le déplacement vertical.

Méthode : tracer une perpendiculaire sur un quadrillage, sans équerre (la méthode du « L »)

Quand la droite (d) est oblique sans suivre les diagonales des carreaux, on lit sur (d) le déplacement d'un nœud à un autre (un « L ») ; le L qui tombe sur le dos donne le déplacement de la perpendiculaire.

Une droite (d), oblique, qui ne suit pas les diagonales des carreaux, et un point M.

Choisis une droite (d), puis Lecture. Orange : le déplacement horizontal ; bleu : le déplacement vertical.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Justifier que deux droites sont perpendiculaires »

On sait que (d) ⊥ (d') et (d') ⊥ (d'').

Or, deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles.Propriété utilisée.

Donc (d) // (d'').Conclusion.

Exercices

Exercice 1

Trace un segment [RS] de 6 cm, puis construis sa médiatrice à la règle et à l'équerre.

Exercice 2

Trace une droite (d) et un point T n'appartenant pas à (d). Construis la droite parallèle à (d) passant par T.

Exercice 3

(d) ⊥ (d') et (d') // (d''). Que peut-on dire de la position relative de (d) et (d'') ? Rédige ta réponse.

history_edu Un peu d'histoire

Comment être sûr que deux droites ne se croiseront jamais, même si on les prolonge indéfiniment ? Cette question a longtemps préoccupé les mathématiciens. Vers 300 av. J.-C., Euclide pose comme règle de base (un « postulat », qu'on admet sans démonstration) une phrase compliquée sur les droites parallèles, dans son livre Les Éléments. Pendant plus de 2 000 ans, de nombreux mathématiciens ont essayé de démontrer que cette règle n'était pas vraiment nécessaire, sans jamais y parvenir, jusqu'à ce qu'on découvre, au 19e siècle, qu'elle décrit bien une propriété propre à notre géométrie « plate », et qu'il existe d'autres géométries où elle ne s'applique pas !

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz