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Représentation de l'espace

Géométrie Cours de mathématiques de 5e (cinquième) · chapitre 17 · Deux familles de solides : prismes droits et cylindres · Fabriquer un solide : les patrons · Calculer un volume

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Deux familles de solides : prismes droits et cylindres

Définition 1

Un prisme droit est un solide dont :

les deux bases sont des polygones superposables, situés dans des plans parallèles ;
les faces latérales sont des rectangles.

Définition 2

Un cylindre de révolution est un solide dont :

les deux bases sont des disques superposables, situés dans des plans parallèles ;
la surface latérale est un rectangle enroulé autour des bases.

Exemple 1 : un prisme droit à base triangulaire

Ses bases sont des triangles ; il a 3 faces latérales (des rectangles de même hauteur : la hauteur du prisme).
Il a 5 faces, 9 arêtes et 6 sommets. Les arêtes cachées sont dessinées en pointillés.

Exemple 2 : un cylindre de révolution

Ses bases sont des disques de même rayon r.
La droite qui passe par les centres des deux bases est l'axe du cylindre ; la distance entre ces centres est sa hauteur.

Le nombre de faces latérales d'un prisme droit est égal au nombre de côtés du polygone de base :

Base	triangle	quadrilatère	pentagone	hexagone	n côtés
Faces latérales	3	4	5	6	n
Faces	5	6	7	8	n + 2
Arêtes	9	12	15	18	3 × n
Sommets	6	8	10	12	2 × n

Remarques : un pavé droit (et donc un cube) est un prisme droit particulier : ses bases sont des rectangles. Un cylindre n'est pas un prisme : ses bases ne sont pas des polygones.

Fabriquer un solide : les patrons

Un patron d'un solide est une figure plane qui, après pliage (ou enroulement), permet de fabriquer ce solide sans superposition.

Patron d'un prisme droit

Prisme droit dont la base est un triangle équilatéral de côté 3 cm, et de hauteur 4 cm : deux triangles (les bases) et trois rectangles de 3 cm sur 4 cm (les faces latérales), placés côte à côte.

Patron d'un cylindre de révolution

Cylindre de rayon 1,5 cm et de hauteur 4 cm : deux disques de rayon 1,5 cm et un rectangle qui a pour largeur la hauteur (4 cm) et pour longueur le périmètre du disque de base : 2 × π × 1,5 ≈ 9,42 cm.

Calculer un volume

Cube

Volume =

c \times c \times c = c^{3}

Pavé droit

Volume =

L \times ℓ \times h

Prisme droit

Volume =

A_{base} \times h

Cylindre

Volume =

π \times r^{2} \times h

Formule

Pour calculer le volume d'un prisme droit ou d'un cylindre de révolution, on multiplie l'aire d'une base par la hauteur :

V = A_{base} \times h

Exemple 1 : le volume d'un cube d'arête 5 cm.

V = c^{3} = 5^{3} = 125

cm³c × c × c.

Exemple 2 : le volume d'un pavé droit de 8 cm sur 5 cm sur 2,5 cm.

V = 8 \times 5 \times 2, 5 = 100

cm³L × ℓ × h.

Exemple 3 : une tente a la forme d'un prisme droit de longueur 3 m ; sa base est un triangle de base 2 m et de hauteur 1,5 m. Quel est son volume ?

A_{base} = \frac{2 \times 1, 5}{2} = 1, 5

m²On calcule l'aire d'une base (un triangle).

V = 1, 5 \times 3 = 4, 5

m³On multiplie par la hauteur du prisme (la longueur de la tente).

Exemple 4 : un bocal cylindrique a un rayon de 4 cm et une hauteur de 10 cm. Quelle est sa contenance ?

A_{base} = π \times 4^{2} = 16 π

cm²Aire d'une base : un disque de rayon 4 cm.

V = 16 π \times 10 = 160 π \approx 502, 65

cm³On multiplie par la hauteur.

502,65 cm³ ≈ 503 mL, soit environ 50 cL.Car 1 cm³ = 1 mL (et 1 dm³ = 1 L).

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : observer un solide sous tous les angles

Bases : 2 polygones à 3 côtés · faces latérales : 3 · faces : 5 · arêtes : 9 · sommets : 6

Méthode 2 : plier le patron d'un prisme droit

à platplié

Méthode 3 : enrouler le patron d'un cylindre

La longueur du rectangle est égale au périmètre des disques : 2 × π × r.

à platenroulé

Méthode 4 : calculer le volume d'un prisme droit

V = A_{base} \times h

On écrit la formule du volume d'un prisme droit.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer la contenance d'un cylindre »

A_{base} = π \times 5^{2} = 25 π

cm²1. Aire d'une base (disque de rayon 5 cm).

V = 25 π \times 20 = 500 π \approx 1 570, 80

cm³2. On multiplie par la hauteur (20 cm).

1 570,80 cm³ ≈ 1,57 L3. 1 000 cm³ = 1 dm³ = 1 L.

Exercices

Exercice 1

Un prisme droit a pour bases des pentagones. Combien a-t-il de faces latérales ? de faces ? d'arêtes ? de sommets ?

Exercice 2

Un cube est-il un prisme droit ? Et un cylindre ? Justifie.

Exercice 3

On veut construire le patron d'un cylindre de rayon 2 cm et de hauteur 5 cm. Quelles sont les dimensions du rectangle ?

Exercice 4

Calcule le volume d'un cube d'arête 4 cm, puis celui d'un pavé droit de 12 cm sur 5 cm sur 3 cm.

Exercice 5

Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 6 cm et 8 cm. Sa hauteur est 10 cm. Calcule son volume.

Exercice 6

Une boîte de conserve cylindrique a un rayon de 5 cm et une hauteur de 20 cm. Calcule son volume, puis sa contenance en litres.

Exercice 7

Un aquarium a la forme d'un pavé droit de 60 cm sur 30 cm sur 40 cm. Combien de litres d'eau peut-il contenir ?

Exercice 8

Deux prismes droits ont des bases de même aire, 15 cm². Le premier a une hauteur de 4 cm, le second de 8 cm. Compare leurs volumes.

history_edu Un peu d'histoire

Le savant grec Archimède (3e siècle av. J.-C.) était si fier d'avoir démontré que le volume d'une boule vaut exactement les deux tiers de celui du cylindre dans lequel elle s'emboîte qu'il avait demandé que ce dessin soit gravé sur sa tombe. Plus d'un siècle plus tard, l'orateur romain Cicéron raconte avoir retrouvé cette tombe, envahie par les ronces, grâce à la sphère et au cylindre sculptés dessus. Quant à la perspective cavalière, utilisée pour dessiner les solides au collège, elle doit son nom au « cavalier », une butte de terre des fortifications d'où l'on voyait le terrain de haut et de biais.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

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