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Équations

Nombres et calculs Cours de mathématiques de 5e (cinquième) · chapitre 18 · Notion d'équation · Résolution d'équations du premier degré

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

1

Notion d'équation

Définition
Une équation à une inconnue est une égalité entre deux expressions littérales (deux membres) comportant une ou plusieurs fois la même lettre.

Exemple 1 : l'égalité x+15=42 est une équation.

Elle comporte deux membres : le membre de gauche x+15 et le membre de droite 42.

Ces deux expressions sont séparées par le symbole « = ». L'inconnue est notée à l'aide de la lettre « x » et est présente dans le membre de gauche.

Définition
Résoudre une équation à une inconnue, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui vérifient l'égalité. Ces valeurs sont appelées « solutions » de l'équation.

Exemple 2 : on considère l'équation x+9=16.

Quand x=7, l'égalité est vérifiée puisque 7+9=16. Donc 7 est solution de cette équation.

2

Résolution d'équations du premier degré

Programme de 5e : équations du type x+b=c et ax=c, résolues avec l'opération inverse. Les équations du type ax+b=c seront étudiées en 4e.

Propriété 1
Une équation du premier degré a une unique solution.
A

Équations du type x+b=c

Propriété 2
On ne change pas une égalité quand on additionne ou soustrait un même nombre aux deux membres de l'égalité.

Exemples : résous les équations x+12=25 et y−9=−14.

x+12=25
On part de la première équation.
Remarque : c'est l'opération inverse. Dans x+12=25, on cherche le nombre auquel on ajoute 12 pour obtenir 25 : x=25−12=13.
B

Équations du type ax=c

Propriété 3
On ne change pas une égalité quand on multiplie ou divise les deux membres de l'égalité par un même nombre non nul.

Exemples : résous les équations 6x=42 et y4=3,5.

6x=42
On part de la première équation.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Une équation peut se représenter par une balance équilibrée : chaque plateau porte la même masse totale. Une boule représente la masse inconnue x. Faire la même opération sur les deux plateaux garde la balance équilibrée -- exactement comme faire la même opération sur les deux membres d'une égalité.

Une boule et une masse

20 g 60 g
1
La balance équilibrée traduit l'équation x + 20 = 60.
2
On retire 20 g de chaque plateau : x = 40.

On complexifie : plusieurs boules

90 g
1
La balance équilibrée traduit l'équation 2x = 90.
2
On partage chaque plateau en 2 parts égales : x = 45.

Pour aller plus loin (programme de 4e) : boules et masses ensemble

15 g 60 g
1
La balance équilibrée traduit l'équation 3x + 15 = 60.
2
On retire 15 g de chaque plateau : 3x = 45.
3
On partage chaque plateau en 3 parts égales : x = 15.

🎮 Jeu : manipule la balance

12 g 52 g

La balance est à l'équilibre !

Réserve (glisser pour ajouter) :

+ boule
5 g
10 g
20 g
30 g
50 g

Équations successives :

x + 12 = 52

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Résoudre une équation du type x + b = c »

Énoncé : résous l'équation x+17=30.

x+17=30Ce que je sais : l'équation de départ.
Or, on ne change pas une égalité en soustrayant un même nombre aux deux membres.On énonce la propriété.
Donc x+17−17=30−17, soit x=13. 13 est la solution de cette équation.Conclusion.

Exercices

Exercice 1
Parmi les valeurs 4, 5 et 6, laquelle est solution de l'équation x+8=13 ?
Exercice 2
Résous l'équation x+23=15, en détaillant chaque étape.
Exercice 3
Résous l'équation x−6=−11, en détaillant chaque étape.
Exercice 4
Résous l'équation 8x=52, en détaillant chaque étape.
Exercice 5
Résous l'équation x5=1,8, en détaillant chaque étape.
Exercice 6 (pour aller plus loin : certaines pesées donnent des équations de 4e)
Toutes les balances suivantes sont à l'équilibre. Pour chaque pesée, écris l'équation correspondante (on pose x la masse de la boule) et calcule sa solution.
a.
20 g 50 g
b.
55 g 100 g

history_edu Un peu d'histoire

history_edu Un peu d'histoire
L'idée de « garder l'équilibre » en effectuant la même opération des deux côtés d'une équation (comme sur une balance) porte un nom très ancien : al-muqabala, qui signifie « la mise en balance » en arabe. Elle vient du même livre, écrit vers 820 à Bagdad par Al-Khwârizmî, qui a donné son autre nom à l'algèbre (al-jabr). Dans son ouvrage, Al-Khwârizmî explique comment résoudre des équations en « équilibrant » les deux membres, exactement comme la méthode de la balance que tu utilises dans ce chapitre !

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz