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Proportionnalité et fonctions Cours de mathématiques de 5e (cinquième) · chapitre 19 · Représenter une grandeur en fonction d'une autre · Le tableau de valeurs · Produire une formule

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Représenter une grandeur en fonction d'une autre

Définition

Un graphique cartésien est une représentation qui permet de visualiser l'évolution d'une grandeur (lue sur l'axe vertical, les ordonnées) « en fonction » d'une autre grandeur (lue sur l'axe horizontal, les abscisses).

Exemple 1 : la température relevée dans un village de montagne, heure par heure, pendant une journée.

On lit la température « en fonction » de l'heure : à 14 h, il fait 15 °C (lecture en pointillés). C'est la température la plus haute de la journée.
Dans l'autre sens : il fait 11 °C à deux moments, vers 11 h et à 18 h.
La température baisse jusque vers 5 h (un peu moins de 2 °C, la plus basse de la journée), monte jusqu'à 14 h, puis redescend.

Le tableau de valeurs

Définition

Un tableau de valeurs est un tableau qui regroupe des couples de valeurs. Ces couples permettent de décrire numériquement une relation entre deux grandeurs.

Depuis un graphique. On relève les coordonnées de points du graphique à intervalles réguliers (ici, toutes les 2 heures) :

Heure (h)	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
Température (°C)	4	3	2	2	5	9	13	15	14	11	8	6	5

Le point de coordonnées (14 ; 15) du graphique correspond à une température de 15 °C à 14 h.

Depuis une formule.

Exemple 2 : un loueur de vélos fait payer 5 € de forfait, plus 2 € par heure. Le prix P (en €) « en fonction » de la durée h (en heures) est donné par la formule $P = 5 + 2 \times h$ .

Durée h (en heures)	0	1	2	3	4	5	6
Prix P (en €)	5	7	9	11	13	15	17

Pour h = 4 :

P = 5 + 2 \times 4 = 13

On remplace h par 4 dans la formule : 4 heures coûtent 13 €.

Produire une formule

Exprimer une grandeur « en fonction » d'une autre, c'est écrire une formule qui permet de la calculer pour n'importe quelle valeur de l'autre grandeur.

Exemple 1 : exprime le volume V d'un pavé droit à base carrée de côté 4 cm en fonction de sa hauteur h (en cm).

V = A_{base} \times h = 4 \times 4 \times h = 16 \times h

V est en cm³ et h en cm.

Pour h = 2,5 cm :

V = 16 \times 2, 5 = 40

cm³On utilise la formule avec une valeur de h.

Exemple 2 : un taxi facture 4 € de prise en charge, plus 1,50 € par kilomètre. Exprime le prix P en fonction de la distance d (en km).

P = 4 + 1, 5 \times d

Une partie fixe + une partie qui dépend de la distance.

Pour d = 12 km :

P = 4 + 1, 5 \times 12 = 22

€

Remarque : une formule, un tableau de valeurs et un graphique sont trois façons de décrire la même relation entre deux grandeurs. La formule permet de tout calculer ; le tableau donne quelques valeurs ; le graphique montre l'évolution d'un coup d'œil.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : lire un graphique dans les deux sens

À 10 h, il fait environ 9 °C. Le point du graphique a pour coordonnées (10 ; 9).

Méthode 2 : construire un graphique à partir d'un tableau de valeurs

Durée h (heures)	0	1	2	3	4	5	6
Prix P (€)	5	7	9	11	13	15	17

On trace le repère : la durée en abscisse, le prix en ordonnée.

Méthode 3 : calculer un tableau de valeurs avec une formule

h	0	1	2	3	4	5
P	5	7	9	11	13	15

Méthode 4 : produire une formule

Partie fixe : 20 €

Ce qu'on paie quel que soit le nombre de séances : la carte annuelle.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer une valeur avec une formule »

P = 4 + 1, 5 \times d

1. On écrit la formule.

P = 4 + 1, 5 \times 20

2. On remplace d par sa valeur (20 km).

P = 4 + 30 = 34

3. On calcule (priorité à la multiplication).

Une course de 20 km coûte 34 €.4. On conclut par une phrase, avec l'unité.

Exercices

Exercice 1

D'après le graphique des températures du cours : a) Quelle température fait-il à 10 h ? b) À quelles heures fait-il 5 °C ?

Exercice 2

Avec la formule P = 5 + 2 × h (location de vélos), complète le tableau pour h = 0 ; 3 ; 7 ; 10.

Exercice 3

L'aire A d'un carré de côté c est A = c × c. Dresse le tableau de valeurs pour c = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5.

Exercice 4

Exprime le périmètre P d'un carré en fonction de son côté c. Calcule P pour c = 7,5 cm.

Exercice 5

Au cinéma, une place coûte 7,50 €. Exprime le prix P en fonction du nombre n de places, puis calcule le prix de 4 places.

Exercice 6

Le point de coordonnées (3 ; 11) est-il sur le graphique de la formule P = 5 + 2 × h ? Et le point (4 ; 12) ?

Exercice 7

Avec le taxi du cours (P = 4 + 1,5 × d), combien coûte une course de 20 km ? Et de 0 km ?

Exercice 8

Sur route sèche, la distance de freinage d (en m) d'une voiture roulant à la vitesse v (en km/h) est environ d = v × v ÷ 200. Calcule d pour v = 50 km/h et v = 100 km/h. Que remarques-tu ?

history_edu Un peu d'histoire

Le mot « cartésien » vient de René Descartes, dont le nom latin était Cartesius. Dans La Géométrie (1637), il repère les points par des nombres et relie ainsi la géométrie et le calcul. L'idée de dessiner l'évolution d'une grandeur est pourtant plus ancienne : au 14e siècle, l'évêque français Nicole Oresme représentait déjà la vitesse d'un objet au cours du temps par des segments plus ou moins hauts, comme un graphique. Aujourd'hui, les graphiques sont partout : courbes de température, de population, de fréquentation d'un site internet…

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz