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Probabilités

Données et probabilités Cours de mathématiques de 5e (cinquième) · chapitre 16 · Le hasard : expériences, issues, évènements · Calculer une probabilité

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Le hasard : expériences, issues, évènements

Définition 1

Une expérience est aléatoire lorsqu'on ne peut pas prévoir à l'avance son résultat. Les différents résultats possibles sont appelés les issues de l'expérience.

On fait tourner une roue de loterie partagée en 8 secteurs identiques numérotés de 1 à 8. Les issues sont : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8}.
On tire au hasard une boule dans un sac contenant 10 boules numérotées de 1 à 10. Il y a 10 issues : {1 ; 2 ; … ; 10}.

Définition 2

Un évènement est une condition qui peut être réalisée ou non par les issues d'une expérience aléatoire ; il correspond à un ensemble d'issues.
Un évènement qui est sûr de se réaliser est dit certain.
Un évènement qui n'a aucune chance de se réaliser est dit impossible.

Exemples avec la roue de loterie :

« Obtenir un nombre pair » est un évènement : il est réalisé par les issues 2, 4, 6 et 8.
« Obtenir un nombre inférieur à 10 » est un évènement certain : toutes les issues le réalisent.
« Obtenir 0 » est un évènement impossible : aucune issue ne le réalise.

Calculer une probabilité

Définition

La probabilité d'un évènement est un nombre compris entre 0 et 1 (c'est-à-dire entre 0 % et 100 %) qui mesure les chances que cet évènement se réalise.

Remarque : la probabilité d'un évènement impossible est 0 ; celle d'un évènement certain est 1.

Règle

Lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont autant de chances de se réaliser (on dit qu'elles sont équiprobables), la probabilité d'un évènement est :

P = \frac{nombre d’issues favorables}{nombre total d’issues}

Exemple 1 : avec la roue de loterie (8 secteurs identiques).

Évènement « Obtenir un nombre pair » : issues favorables 2, 4, 6, 8.On compte les issues favorables : 4.

P = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0, 5 = 50 %

On divise par le nombre total d'issues : 8.

Évènement « Obtenir un multiple de 3 » : issues 3 et 6.2 issues favorables.

P = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0, 25 = 25 %

Une chance sur quatre.

Exemple 2 : on tire une boule au hasard dans un sac contenant 3 boules rouges, 2 vertes et 5 bleues, indiscernables au toucher.

Il y a 3 + 2 + 5 = 10 boules, chacune a autant de chances d'être tirée.On compte les issues : 10 boules.

P (rouge) = \frac{3}{10} = 0, 3

3 boules rouges sur 10.

P (bleue) = \frac{5}{10} = 0, 5

Tirer une bleue a autant de chances que « pile » avec une pièce.

Attention : la règle ne s'applique que si les issues sont équiprobables. Ici, les issues « rouge », « verte », « bleue » ne le sont pas (il y a plus de boules bleues) : on raisonne donc sur les 10 boules, qui, elles, ont toutes la même chance.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : repérer les issues favorables et calculer la probabilité

Issues favorables : 2, 4, 6, 8 →

P = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0, 5

Méthode 2 : rédiger un calcul de probabilité

M – A – T – H – É – M – A – T – I – Q – U – E – S

Les 13 cartons sont identiques : chacun a la même chance d'être tiré. Il y a 13 issues.

Méthode 3 : lancer un dé beaucoup de fois

Aucun lancer pour l'instant.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer une probabilité »

On lance un dé équilibré à 6 faces : les 6 issues sont équiprobables.1. On justifie l'équiprobabilité.

« Obtenir un nombre supérieur à 4 » est réalisé par 5 et 6 : 2 issues favorables.2. On liste les issues favorables.

P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

3. Issues favorables ÷ issues au total, puis on simplifie.

Exercices

Exercice 1

On tire au hasard une carte parmi un As, un Roi, une Dame et un Valet posés face cachée. Quelles sont les issues de cette expérience ?

Exercice 2

On lance un dé à 6 faces. Dis si chaque évènement est certain, impossible, ou ni l'un ni l'autre : « obtenir 7 » ; « obtenir un nombre inférieur ou égal à 6 » ; « obtenir 5 ».

Exercice 3

On lance un dé équilibré. Quelle est la probabilité d'obtenir 4 ? d'obtenir un nombre impair ?

Exercice 4

Un sac contient 3 boules rouges, 2 vertes et 5 bleues. On tire une boule au hasard. Calcule la probabilité de chaque couleur. Que vaut la somme de ces probabilités ?

Exercice 5

Avec la roue de loterie à 8 secteurs identiques numérotés de 1 à 8, quelle est la probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à 5 ?

Exercice 6

On tire une lettre au hasard parmi celles du mot MATHÉMATIQUES (13 lettres). Quelle est la probabilité de tirer la lettre M ? la lettre T ?

Exercice 7

Sam dit : « À ce jeu, soit je gagne, soit je perds : j'ai donc une chance sur deux de gagner. » A-t-il forcément raison ?

Exercice 8

Une pièce équilibrée est tombée trois fois de suite sur Pile. Quelle est la probabilité qu'elle tombe sur Face au lancer suivant ?

history_edu Un peu d'histoire

Les jeux de hasard sont très anciens : on a retrouvé des dés vieux de plus de 4 000 ans. Pourtant, calculer des probabilités n'a commencé qu'au 17e siècle, en France. En 1654, un joueur, le chevalier de Méré, pose à Blaise Pascal une question : comment partager équitablement la mise entre deux joueurs si une partie est interrompue avant la fin ? Pascal en discute par lettres avec Pierre de Fermat, et leurs échanges fondent le calcul des probabilités. Aujourd'hui, on l'utilise partout : météo (« 70 % de risque de pluie »), médecine, assurances, jeux vidéo…

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz