Accueil › Cours de maths 5e › Calcul littéral

Calcul littéral

Nombres et calculs Cours de mathématiques de 5e (cinquième) · chapitre 15 · Expression littérale · Valeur d'une expression littérale · Égalité · Distributivité simple

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

Ouvrir le chapitre interactif

menu_book Le cours

Expression littérale

Généralités

Définition

Une expression littérale est une expression qui contient une ou plusieurs lettres. Ces lettres désignent des nombres.

Exemples :

Le périmètre d'un triangle équilatéral de côté $a$ s'exprime avec l'expression littérale : $P = a \times 3$ .

Le double du nombre entier précédant l'entier $n$ s'exprime sous la forme : $2 \times (n - 1)$ .

Règle

Pour simplifier l'écriture d'une expression littérale, on peut supprimer le signe «

\times

» devant une lettre ou une parenthèse.

Exemples :

L'aire d'un rectangle de longueur $L$ et de largeur $l$ est : $A = L \times l = L l$ .

L'expression $5 \times (x - 2)$ peut s'écrire plus simplement sous la forme : $5 (x - 2)$ .

Remarque : on peut simplifier $1 \times x$ en $x$ , et $0 \times y$ en $0$ .

Puissances

Définitions

a

désigne un nombre.

a \times a = a^{2}

, où

a^{2}

se lit «

a

au carré » ; et

a \times a \times a = a^{3}

, où

a^{3}

se lit «

a

au cube ».

Exemples :

On considère un carré de côté $n$ . Son aire est : $A = n \times n = n^{2}$ .

On considère un cube d'arête $m$ . Son volume est : $V = m \times m \times m = m^{3}$ .

Voici les 12 premiers carrés à connaître :

a	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
a²	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144

À retenir aussi : $1 0^{3} = 10 \times 10 \times 10 = 1 000$ (un cube de 10 cm d'arête a un volume de 1 000 cm³, soit 1 L).

Valeur d'une expression littérale

Règle

Pour calculer la valeur d'une expression littérale par substitution, on remplace chaque lettre par une valeur numérique donnée.

Exemple : soient $C = 2 x^{2} + 5$ et $D = (2 x)^{2} + 5$ . Calcule C et D pour $x = 3$ .

C = 2 \times 3^{2} + 5

On remplace x par 3 dans l'expression de C.

Remarque : C et D ne donnent pas le même résultat pour x = 3, alors que les deux expressions se ressemblent. $2 x^{2}$ et $(2 x)^{2}$ ne désignent pas la même chose : dans $2 x^{2}$ , seul x est élevé au carré ; dans $(2 x)^{2}$ , c'est le produit $2 x$ tout entier qui l'est.

Égalité

Définition

Une égalité est une expression composée de deux membres séparés par le signe « = ».

Règle

Pour tester une égalité pour une valeur donnée d'une lettre :

on remplace la lettre par sa valeur numérique dans chaque membre ;
on calcule chaque membre séparément ;
si les deux résultats sont égaux, alors l'égalité est vraie ; s'ils sont différents, alors l'égalité est fausse.

Exemple : soit l'égalité $5 x + 3 = 2 x + 12$ . Cette égalité est-elle vraie pour $x = 3$ ? Pour $x = 5$ ?

5 \times 3 + 3 = 18

Pour x = 3, on calcule le membre de gauche.

Un contre-exemple suffit pour montrer qu'une affirmation est fausse

Affirmation : « pour tout nombre $x$ , $2 x^{2} = (2 x)^{2}$ ». Pour $x = 3$ : $2 \times 3^{2} = 18$ mais $(2 \times 3)^{2} = 36$ . Une seule valeur pour laquelle l'égalité est fausse (un contre-exemple) suffit : l'affirmation est fausse.

Attention : vérifier une égalité sur quelques exemples ne suffit pas pour montrer qu'elle est vraie pour tous les nombres. Pour cela, il faut une démonstration.

Démontrer une propriété avec le calcul littéral

Propriété : « la somme de trois nombres entiers consécutifs est toujours un multiple de 3 ».

On appelle $n$ le plus petit des trois nombres : les trois nombres sont $n$ , $n + 1$ et $n + 2$ .
Leur somme : $n + (n + 1) + (n + 2) = 3 n + 3 = 3 (n + 1)$ .
$3 (n + 1)$ est un multiple de 3, quel que soit $n$ : la propriété est démontrée (et pas seulement vérifiée sur des exemples).

Distributivité simple

Développement

Définition

Développer une expression, c'est l'écrire sous la forme d'une somme algébrique.

Propriétés

Pour tous nombres relatifs

k

a

b

k \times (a + b) = k \times a + k \times b

k \times (a - b) = k \times a - k \times b

Exemples : développe chaque expression, en détaillant chaque étape.

H = 4 \times (x + 5)

On remplace le signe × devant la parenthèse.

Factorisation

Définition

Factoriser une expression, c'est l'écrire sous la forme d'un produit.

Propriétés

Pour tous nombres relatifs

k

a

b

k \times a + k \times b = k \times (a + b)

k \times a - k \times b = k \times (a - b)

La factorisation permet de réduire des expressions littérales de la forme $k a + k b$ et $a y - b y$ , où $a$ et $b$ sont des nombres décimaux.

K = 7 x + 2 x

On repère le facteur commun aux deux termes : x.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Développer, avec les flèches de distribution

On part de l'expression à développer : A = 6(x − 4).

6 multiplie le premier terme : A = 6 × x.

6 multiplie aussi le second terme, avec son signe : A = 6 × x − 6 × 4.

On calcule chaque produit : A = 6x − 24.

Factoriser, en repérant le facteur commun

On part de l'expression à factoriser : B = 12x + 18.

On repère un même facteur, 6, caché dans chacun des deux termes.

On met ce facteur commun en évidence, devant une parenthèse.

On simplifie l'écriture en supprimant le signe ×.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Tester une égalité »

Énoncé : soit l'égalité $3 x + 7 = 4 x - 2$ . Teste cette égalité pour $x = 9$ .

Calcul du membre de gauche pour x = 9 :

3 x + 7 = 3 \times 9 + 7 = 27 + 7 = 34

.Ce que je sais (1/2) : je calcule le membre de gauche.

Calcul du membre de droite pour x = 9 :

4 x - 2 = 4 \times 9 - 2 = 36 - 2 = 34

.Ce que je sais (2/2) : je calcule le membre de droite.

Donc les deux membres sont égaux (34 = 34) : cette égalité est vraie pour x = 9.Conclusion.

Exercices

Exercice 1

Écris sous forme littérale simplifiée : le triple d'un nombre

y

augmenté de 4.

Exercice 2

Soit

M = 5 x^{2} - 3

. Calcule M pour

x = 4

, en détaillant chaque étape.

Exercice 3

Teste l'égalité

6 x - 5 = 2 x + 11

pour

x = 4

, puis pour

x = 6

Exercice 4

Développe :

N = 6 (x - 4)

P = 1, 5 (z + 8)

Exercice 5

Factorise :

Q = 9 x + 3 x

R = 4, 2 y - y

history_edu Un peu d'histoire

Le mot « algèbre » vient de l'arabe al-jabr, qui signifie à peu près « la remise en place » ou « la réduction ». Il provient du titre d'un livre écrit vers 820 à Bagdad par le mathématicien perse Al-Khwârizmî, dans un centre de recherche appelé la Maison de la Sagesse. Ce livre est le premier à présenter une méthode générale pour manipuler des expressions contenant des inconnues, sans forcément les relier à une figure géométrique précise. Le mot « algorithme », que l'on utilise beaucoup aujourd'hui en informatique, vient d'ailleurs directement de son nom !

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz