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Aires

Géométrie Cours de mathématiques de 5e (cinquième) · chapitre 14 · Les formules à connaître · L'aire d'un disque : valeur exacte, valeur arrondie · L'aire d'une figure composée

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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Les formules à connaître

L'aire d'une figure est la mesure de la surface qu'elle occupe, exprimée dans une unité d'aire (cm², m²…). Toutes les longueurs doivent être dans la même unité.

Rectangle

Aire =

L \times ℓ

Carré

Aire =

c \times c = c^{2}

Disque

Aire =

π \times r \times r = π \times r^{2}

Triangle rectangle

Aire =

\frac{a \times b}{2}

Triangle

Aire =

\frac{b \times h}{2}

Parallélogramme

Aire =

b \times h

Remarque : dans le triangle et le parallélogramme, la hauteur h est perpendiculaire à la base b ; ce n'est pas la longueur d'un côté penché. L'onglet Méthode montre d'où viennent ces formules.

L'aire d'un disque : valeur exacte, valeur arrondie

Exemple 1 : quelle est l'aire d'un disque de rayon 5 cm ? On donne la valeur exacte, puis une valeur arrondie au centième.

A = π \times r^{2}

On écrit la formule.

A = π \times 5^{2}

On remplace r par 5 cm.

A = 25 π

cm²On obtient la valeur exacte (on garde π).

A \approx 78, 54

cm²Avec la touche π de la calculatrice : la valeur arrondie au centième.

Exemple 2 : quelle est l'aire d'un disque de diamètre 12 m ?

r = 12 ÷ 2 = 6 mAttention : la formule utilise le rayon, moitié du diamètre.

A = π \times 6^{2} = 36 π

m²Valeur exacte.

A \approx 113, 10

m²Valeur arrondie au centième.

Remarque : π (« pi ») n'est pas un nombre décimal : 3,14 n'en est qu'une valeur approchée. C'est pour cela qu'on distingue la valeur exacte (25π) de la valeur arrondie (78,54).

L'aire d'une figure composée

Méthode

Pour calculer l'aire d'une figure composée, on la découpe en figures usuelles, on calcule l'aire de chacune, puis on les additionne (ou on les soustrait s'il y a un « trou »).

Exemple 1 : la figure ABCDE est formée du rectangle ABCD et du triangle ABE.

A_{A B C D} = 6 \times 4 = 24

cm²Aire du rectangle : L × ℓ.

A_{A B E} = \frac{6 \times 2, 5}{2} = 7, 5

cm²Aire du triangle : base × hauteur ÷ 2.

A_{A B C D E} = 24 + 7, 5 = 31, 5

cm²On additionne les deux aires.

Exemple 2 : un carré de côté 10 cm est percé d'un trou circulaire de rayon 3 cm. Quelle est l'aire restante ?

10 \times 10 = 100

cm²Aire du carré.

π \times 3^{2} = 9 π

cm²Aire du trou (un disque).

100 - 9 π \approx 71, 73

cm²On soustrait l'aire du trou.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : pourquoi l'aire d'un parallélogramme est b × h

On coupe le parallélogramme le long d'une hauteur : on obtient un triangle (en orange).

Méthode 2 : pourquoi l'aire d'un triangle est (b × h) ÷ 2

Le triangle a la même base b et la même hauteur h que le rectangle en pointillés.

Méthode 3 : pourquoi l'aire d'un disque est π × r²

Les parts forment une figure qui ressemble de plus en plus à un rectangle… Augmentez encore le nombre de parts.

Méthode 4 : calculer l'aire avec le formulaire

A = L \times ℓ = 6 \times 4 = 24

Méthode 5 : l'aire d'une figure composée

Figure = rectangle + demi-disque

On découpe la figure en figures usuelles.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer l'aire d'un triangle »

A = \frac{b \times h}{2}

1. On écrit la formule.

A = \frac{8 \times 5}{2}

2. On remplace par les longueurs (même unité : cm).

A = 20

cm²3. On calcule et on n'oublie pas l'unité d'aire.

Exercices

Exercice 1

Calcule l'aire d'un rectangle de longueur 7,5 cm et de largeur 4 cm, puis celle d'un carré de côté 9 cm.

Exercice 2

Calcule l'aire d'un triangle de base 8 cm et de hauteur associée 5 cm.

Exercice 3

Calcule l'aire d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 6 cm et 4,5 cm.

Exercice 4

Calcule l'aire d'un parallélogramme de base 7 cm et de hauteur associée 3,2 cm.

Exercice 5

Donne la valeur exacte, puis la valeur arrondie au centième, de l'aire d'un disque de rayon 3 cm, puis d'un disque de diamètre 10 cm.

Exercice 6

Un terrain est formé d'un rectangle de 20 m sur 12 m et d'un demi-disque de diamètre 12 m. Calcule son aire, arrondie au centième.

Exercice 7

Un triangle de base 6 cm et de hauteur 4 cm, et un rectangle de 3 cm sur 4 cm : lequel a la plus grande aire ?

Exercice 8

Léo calcule l'aire d'un rectangle de 2 m sur 35 cm et trouve 70. Quelle est son erreur ? Donne la bonne réponse.

history_edu Un peu d'histoire

Le mot « aire » vient du latin area, qui désignait une surface plane et dégagée, comme une cour. Calculer des aires était indispensable pour partager les champs : en Égypte, après chaque crue du Nil, il fallait redessiner les parcelles. Le papyrus Rhind (vers 1650 av. J.-C.) calcule l'aire d'un disque comme celle d'un carré dont le côté vaut les 8/9 du diamètre, ce qui revient à prendre π ≈ 3,16. Plus tard, le Grec Archimède (3e siècle av. J.-C.) encadre π entre 3 + 10/71 et 3 + 1/7 en dessinant des polygones à 96 côtés autour d'un cercle et à l'intérieur. Aujourd'hui, les ordinateurs connaissent des milliers de milliards de décimales de π… mais 3,14 suffit largement au collège !

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz