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Proportionnalité

Proportionnalité et fonctions Cours de mathématiques de 5e (cinquième) · chapitre 7 · Tableau de proportionnalité · Caractérisation graphique de la proportionnalité

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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Tableau de proportionnalité

Définition

Un tableau de nombres à deux lignes est un tableau de proportionnalité quand les nombres de la seconde ligne s'obtiennent en multipliant les nombres correspondants de la première ligne par un même nombre non nul, appelé coefficient de proportionnalité.

Exemples : ces tableaux sont-ils des tableaux de proportionnalité ?

Côté	2 cm	3 cm	5 cm
Périmètre du carré	8 cm	12 cm	20 cm

Les quotients $\frac{8}{2}$ , $\frac{12}{3}$ et $\frac{20}{5}$ sont tous égaux à 4.

Donc ce tableau est un tableau de proportionnalité.

Côté	2 cm	3 cm	5 cm
Aire du carré	4 cm²	9 cm²	25 cm²

Les quotients $\frac{4}{2}$ , $\frac{9}{3}$ et $\frac{25}{5}$ ne sont pas tous égaux (2, puis 3, puis 5).

Donc ce tableau n'est pas un tableau de proportionnalité.

Compléter un tableau de proportionnalité

Règle

Dans un tableau de proportionnalité, on peut compléter la (les) valeur(s) manquante(s) en utilisant plusieurs méthodes : ① le retour à l'unité ; ② les propriétés de linéarité ; ③ le coefficient de proportionnalité.

Exemple : une voiture consomme 5 L pour parcourir 100 km. Complète le tableau de proportionnalité suivant.

Distance parcourue	100 km	250 km	350 km
Consommation	5 L	?	?

① À l'aide du retour à l'unité :

Quand la voiture parcourt 1 km, elle consomme $\frac{5}{100} = 0, 05$ L.

Quand la voiture parcourt 250 km, elle consomme 250 fois plus, soit $250 \times 0, 05$ L = 12,5 L.

Quand la voiture parcourt 350 km, elle consomme 350 fois plus, soit $350 \times 0, 05$ L = 17,5 L.

② À l'aide des propriétés de linéarité :

100 km × 2,5 = 250 km, donc 5 L × 2,5 = 12,5 L.

100 km + 250 km = 350 km, donc 5 L + 12,5 L = 17,5 L.

③ À l'aide du coefficient de proportionnalité :

Le coefficient de proportionnalité est $\frac{5}{100} = 0, 05$ . On multiplie chaque distance par 0,05 pour obtenir la consommation correspondante.

Distance parcourue	100 km	250 km	350 km
Consommation	5 L	12,5 L	17,5 L

Caractérisation graphique de la proportionnalité

Propriété 1

Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l'origine du repère.

Exemple : un plan a une échelle de 1/500.

Sur le plan	0 cm	1 cm	2 cm	3 cm	4 cm
Dans la réalité	0 m	5 m	10 m	15 m	20 m

On représente cette situation de proportionnalité dans un repère : les points sont alignés avec l'origine du repère.

Propriété 2

Réciproquement, si une situation est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l'origine du repère alors c'est une situation de proportionnalité.

Remarque : donc si une situation n'est pas représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l'origine du repère alors ce n'est pas une situation de proportionnalité.

Exemples : ces graphiques représentent-ils des situations de proportionnalité ?

Oui, ce graphique représente une situation de proportionnalité : les points sont alignés avec l'origine du repère.

Non, ce graphique ne représente pas une situation de proportionnalité : les points sont alignés mais pas avec l'origine du repère.

Non, ce graphique ne représente pas une situation de proportionnalité : les points ne sont pas alignés.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Grandeur et unité

Définition

Une grandeur est ce que l'on peut mesurer (une longueur, une durée, un prix, une masse, un volume, une aire...). Une unité permet d'exprimer la mesure d'une grandeur.

Par exemple, une température est une grandeur, et elle peut s'exprimer dans l'unité °C (degré Celsius).

Jeu : associe chaque grandeur à son unité

Masse

Volume

Prix

Aire

Durée

Longueur

€

m²

0 / 6 paires trouvées.

Évolution d'une grandeur

Méthode

On connaît une valeur initiale de deux grandeurs A et B associées, ainsi qu'un objectif pour B. On veut faire évoluer A pour atteindre cet objectif.

Exemple : une voiture consomme 5 L pour parcourir 100 km. Quelle est sa consommation pour 250 km ?

On note C la consommation cherchée pour 250 km.

On cherche une consommation. Donc on va faire évoluer la consommation initiale (5 L).

Autre méthode : l'association dans un tableau

Méthode

Quand on connaît deux paires de valeurs associées, on peut parfois passer de l'une à l'autre par une opération simple, et appliquer cette même opération sur l'autre grandeur.

Exemple : on connaît les paires (5 ; 100) et (3 ; 60). On cherche la valeur de B associée à A = 8.

On considère A = 8. On veut trouver B.

On remarque que 8 = 5 + 3.

On applique la même addition à B : 100 + 60 = 160.

Autre exemple : toujours avec (5 ; 100) et (3 ; 60), on cherche cette fois la valeur de A associée à B = 40.

On considère B = 40. On veut trouver A.

On remarque que 40 = 100 − 60.

On applique la même soustraction à A : 5 − 3 = 2.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Justifier qu'un tableau n'est pas un tableau de proportionnalité »

Énoncé : Voici un tableau de nombres. Justifie qu'il ne s'agit pas d'un tableau de proportionnalité.

3	5	8
12	20	31

\frac{12}{3} = 4

\frac{20}{5} = 4

, mais

\frac{31}{8} = 3, 875

.Ce que je sais : je calcule les quotients.

Or, dans un tableau de proportionnalité, tous les quotients doivent être égaux.On énonce la propriété (contraposée de la définition).

Donc ce tableau n'est pas un tableau de proportionnalité.Conclusion.

Exercices

Exercice 1

Une recette pour 4 personnes nécessite 200 g de farine. Complète pour 6 personnes et pour 10 personnes, en indiquant la méthode utilisée.

Exercice 2

Recopie et complète ce tableau de proportionnalité, puis donne son coefficient de proportionnalité.

4	7	…
10	…	27,5

Exercice 3

Un graphique représente une situation par des points alignés, mais qui ne passent pas par l'origine du repère. Cette situation est-elle une situation de proportionnalité ? Justifie ta réponse.

Exercice 4

Justifie que le tableau suivant n'est pas un tableau de proportionnalité.

2	5	6
6	15	19

history_edu Un peu d'histoire

Selon une légende rapportée par plusieurs auteurs antiques, le savant grec Thalès (6e siècle av. J.-C.) aurait mesuré la hauteur de la grande pyramide d'Égypte sans même y monter, en utilisant un simple bâton planté dans le sol : il aurait attendu le moment où l'ombre du bâton était égale à sa propre hauteur, sachant qu'à cet instant précis, l'ombre de la pyramide serait elle aussi égale à sa hauteur. Les historiens doutent aujourd'hui que Thalès soit vraiment l'inventeur de cette idée (les Babyloniens et les Égyptiens connaissaient déjà ce principe de proportionnalité), mais l'anecdote reste un bel exemple de la puissance de ces méthodes : mesurer un objet immense sans y toucher.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz