Droites remarquables dans un triangle

menu_book Le cours

On a tracé la médiatrice du côté [BC] : elle passe par le milieu de [BC] et lui est perpendiculaire.

On a tracé la bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ : elle partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure.

On a tracé :

• la hauteur issue de A, qui traverse le triangle ABC ;
• la hauteur issue de C (en pointillés au-delà du triangle), qui est extérieure au triangle ABC.

On a tracé la médiane issue de A : elle passe par A et par le milieu de [BC].

Dans un triangle qui a tous ses angles aigus, le centre du cercle circonscrit se trouve à l'intérieur du triangle.

Dans un triangle qui a un de ses angles obtus, le centre du cercle circonscrit se trouve à l'extérieur du triangle.

Le milieu O de l'hypoténuse [BC] est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, rectangle en A.

Dans un triangle qui a tous ses angles aigus, l'orthocentre se trouve à l'intérieur du triangle.

Dans un triangle qui a un de ses angles obtus, l'orthocentre se trouve à l'extérieur du triangle.

Le centre de gravité est toujours situé à l'intérieur du triangle, quels que soient ses angles.

Démonstration

• Soit M le milieu de [BC] et H le pied de la hauteur issue de A. Les triangles ABM et AMC ont la même hauteur [AH].
• Leurs bases [BM] et [MC] ont la même longueur, car M est le milieu de [BC].
• Aire(ABM) = ${\displaystyle \frac{BM\times AH}{2}}$ et Aire(AMC) = ${\displaystyle \frac{MC\times AH}{2}}$. Comme BM = MC, les deux aires sont égales.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

edit Exercices et rédaction

history_edu Un peu d'histoire