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Nombres relatifs
Nombres et calculs Cours de mathématiques de 5e (cinquième) · chapitre 8 · Nombres relatifs · Repérage sur une droite · Repérage dans le plan · Comparaison de relatifs
Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.
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Définitions
Nombres relatifs
- Un nombre est dit positif lorsqu'il est supérieur ou égal à 0.
- Un nombre est dit négatif lorsqu'il est inférieur ou égal à 0.
- 0 appartient donc à la fois aux nombres positifs et aux nombres négatifs.
- L'ensemble formé par tous ces nombres, positifs et négatifs, s'appelle les nombres relatifs.
Exemples :
- +7 est un nombre positif ; on peut aussi l'écrire simplement 7.
- −4,5 est un nombre négatif : c'est un nombre décimal relatif.
- Autres nombres positifs : +20 ; 1,5 ; .
- Autres nombres négatifs : −8,3 ; ; −0,12.
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Définition 1
Repérage sur une droite
On dit qu'une droite est graduée lorsqu'on y a choisi un point de départ (appelé origine et noté O) ainsi qu'une longueur de référence appelée l'unité.
Définition 2
Sur une droite graduée, chaque point occupe une position que l'on traduit par un nombre relatif : c'est son abscisse.
Exemple : un nombre relatif et son opposé
Définition 3
La distance qui sépare un point M de l'origine O est appelée la valeur absolue du nombre relatif associé à M.
Exemples :
- La valeur absolue de −6 est 6.
- La valeur absolue de +9 est 9.
On dit que deux nombres relatifs sont opposés lorsqu'ils ont la même valeur absolue mais des signes différents.
Exemple :
- +2,5 et −2,5 sont deux nombres opposés.
Remarque : un nombre et son opposé occupent des positions symétriques par rapport à l'origine sur une droite graduée, on retrouve ici l'idée de symétrie centrale, avec 0 comme centre.
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Définition 1
Repérage dans le plan
Lorsqu'on trace, dans un plan, deux droites graduées perpendiculaires partageant la même origine, on obtient un repère orthogonal. La droite horizontale est l'axe des abscisses, la droite verticale est l'axe des ordonnées.
Définition 2
Dans un tel repère, la position de chaque point est donnée par deux nombres relatifs appelés ses coordonnées : le premier est l'abscisse, le second l'ordonnée.
Exemple : repérer un point dans le plan
Remarques :
- L'origine O a pour coordonnées (0 ; 0).
- Un point situé sur l'axe des abscisses a toujours une ordonnée égale à 0.
- Un point situé sur l'axe des ordonnées a toujours une abscisse égale à 0.
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Règles
Comparaison de relatifs
- Entre deux nombres positifs, le plus grand est celui dont la valeur absolue est la plus grande.
- Un nombre négatif est toujours plus petit qu'un nombre positif.
- Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui dont la valeur absolue est la plus petite.
Exemples :
- 12,3 et 12,08 sont deux nombres positifs. 12,3 a la plus grande valeur absolue, donc 12,3 > 12,08.
- −5,2 est négatif et 1,1 est positif, donc 1,1 > −5,2.
- −7 et −2 sont deux nombres négatifs : −7 a la plus grande valeur absolue, c'est donc le plus petit des deux, et −7 < −2.
warning Piège classique : un nombre négatif de grande valeur absolue reste un petit nombre. On voit souvent l'erreur −10 > −3 (en ne comparant que les chiffres 10 et 3), c'est l'inverse : −10 < −3.
edit Exercices et rédaction
Rédaction type : « Comparer deux nombres relatifs »
−9 et −2 sont deux nombres négatifs.
|−9| = 9 et |−2| = 2, donc |−9| > |−2|.
Or, entre deux négatifs, le plus grand est celui de plus petite valeur absolue.
Donc −9 < −2.
|−9| = 9 et |−2| = 2, donc |−9| > |−2|.
Or, entre deux négatifs, le plus grand est celui de plus petite valeur absolue.
Donc −9 < −2.
Rédaction type : « Donner l'opposé d'un nombre »
−4 et 4 ont la même valeur absolue et des signes contraires.
Donc 4 est l'opposé de −4.
Donc 4 est l'opposé de −4.
Exercices
Exercice 1
Range dans l'ordre croissant : 4 ; −7 ; −1 ; 0 ; −10 ; 2,5.
Exercice 2
Donne l'opposé de chacun des nombres suivants : 6 ; −3,5 ; 0 ; −12.
history_edu Un peu d'histoire
history_edu Un peu d'histoire
Les nombres négatifs sont utilisés bien avant d'être vraiment acceptés par les mathématiciens ! Dès environ 200 av. J.-C., en Chine, on utilisait des baguettes de calcul rouges pour les nombres positifs et noires pour les négatifs, notamment pour tenir des comptes commerciaux. Vers 628, en Inde, le mathématicien Brahmagupta est le premier à poser clairement des règles de calcul avec des nombres négatifs (addition, soustraction...). En Europe, en revanche, il faudra attendre le 17e siècle, voire le 19e siècle pour certains savants, avant que les nombres négatifs soient pleinement acceptés comme des nombres à part entière.
Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.
Faire le quiz