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Parallélogrammes

Géométrie Cours de mathématiques de 5e (cinquième) · chapitre 9 · Définition · Propriétés du parallélogramme · Reconnaître un parallélogramme

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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1

Définition

Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles.
ABCD

On considère la figure ci-dessus. Les côtés [AB] et [DC] sont parallèles. Les côtés [AD] et [BC] sont parallèles. Le quadrilatère ABCD est donc un parallélogramme.

2

Propriétés du parallélogramme

Propriété 1
Un parallélogramme a un centre de symétrie qui est le point d'intersection de ses diagonales.
OABCD

ABCD est un parallélogramme de centre O. O est le centre de symétrie du parallélogramme ABCD. [AB] et [CD] sont symétriques par rapport à O. [AD] et [BC] sont symétriques par rapport à O. Les angles opposés sont symétriques par rapport à O.

Propriété 2
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
OABCD

ABCD est un parallélogramme de centre O. Donc ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu O.

Propriété 3
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés ont la même longueur.
ABCD

ABCD est un parallélogramme. Ses côtés opposés ont la même longueur, donc AB = DC et AD = BC.

Propriété 4
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés ont la même mesure.
ABCD

ABCD est un parallélogramme. Ses angles opposés ont la même mesure, donc DAB^=BCD^ et ABC^=CDA^.

3

Reconnaître un parallélogramme

Propriété 1
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme.
OABCD

Les diagonales du quadrilatère ABCD se coupent en O, qui est le milieu de ses diagonales [AC] et [BD]. Donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Propriété 2
Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c'est un parallélogramme.
ABCD

Les côtés [AB] et [DC] du quadrilatère ABCD sont parallèles et ont la même longueur. Donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Propriété 3
Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur alors c'est un parallélogramme.
ABCD

AB = DC et AD = BC. Le quadrilatère ABCD non croisé a ses côtés opposés de même longueur. Donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

En utilisant la définition du parallélogramme

ABC D
1
On trace la droite parallèle à (AB) passant par C.
2
On trace la droite parallèle à (BC) passant par A.
3
Les deux droites se coupent en D.

En utilisant la propriété des longueurs des côtés d'un parallélogramme

ABC D
1
On trace un arc de centre A et de rayon BC.
2
On trace un arc de centre C et de rayon AB.
3
Les deux arcs se coupent en D.

En utilisant la propriété des diagonales d'un parallélogramme

ABC O D
1
On trace la diagonale [AC] et son milieu O.
2
On trace la demi-droite [BO), prolongée au-delà de O.
3
On reporte la longueur OB de l'autre côté de O : on obtient D.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Justifier qu'un quadrilatère est un parallélogramme »

Énoncé : EFGH est un quadrilatère dont les diagonales [EG] et [FH] se coupent en K, milieu de [EG] et de [FH]. Justifie que EFGH est un parallélogramme.

Les diagonales [EG] et [FH] du quadrilatère EFGH se coupent en K, qui est le milieu de [EG] et de [FH].Ce que je sais.
Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.On énonce la propriété.
Donc le quadrilatère EFGH est un parallélogramme.Conclusion, en appliquant la propriété.

Exercices

Exercice 1
ABCD est un parallélogramme de centre O tel que AB = 6,4 cm et AD = 4,1 cm. Donne les longueurs DC et BC. Justifie ta réponse.
Exercice 2
ABCD est un parallélogramme tel que ABC^=108°. Donne la mesure de l'angle CDA^. Justifie ta réponse.
Exercice 3
MNPQ est un quadrilatère tel que MN = QP et MN soit parallèle à (QP). Justifie que MNPQ est un parallélogramme.
Exercice 4
RSTU est un quadrilatère non croisé tel que RS = UT et RU = ST. Justifie que RSTU est un parallélogramme.

history_edu Un peu d'histoire

history_edu Un peu d'histoire
Les propriétés des parallélogrammes figurent déjà, démontrées, dans Les Éléments d'Euclide, vers 300 av. J.-C. (notamment dans son premier livre, consacré aux triangles et aux quadrilatères). Les Grecs s'intéressaient beaucoup à ces figures car elles servaient à comparer des aires : une méthode qu'ils appelaient l'« application des aires » permettait de transformer n'importe quelle figure en un parallélogramme de même aire, une façon très ingénieuse de « mesurer » les surfaces sans les nombres décimaux que nous utilisons aujourd'hui.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz