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Parallélogrammes particuliers

Géométrie Cours de mathématiques de 5e (cinquième) · chapitre 12 · Le rectangle · Le losange · Le carré

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Le rectangle

Définition et propriétés caractéristiques

Définition

Un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits.

Propriété 1

Si un quadrilatère est un rectangle alors c'est un parallélogramme.

Démonstration :

MNPQ est un rectangle. Il a donc quatre angles droits.

Les droites (MN) et (QP) sont perpendiculaires à la même droite (NP), donc elles sont parallèles entre elles.

Les droites (MQ) et (NP) sont perpendiculaires à la même droite (QP), donc elles sont parallèles entre elles. Donc MNPQ est un parallélogramme.

Remarque : un rectangle a donc toutes les propriétés du parallélogramme.

ABCD est un rectangle. Ses quatre angles sont droits.

Propriété 2

Si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales se coupent en leur milieu et ont la même longueur.

ABCD est un rectangle de centre O. Donc ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu O et ont la même longueur : OA = OB = OC = OD et AC = BD.

Reconnaître un rectangle

Propriété 1

Si un quadrilatère possède trois angles droits alors c'est un rectangle.

Le quadrilatère ABCD a trois angles droits en A, B et C. Or, la somme des angles d'un quadrilatère est toujours égale à 360°. Donc l'angle en D mesure aussi 90°, et ABCD est un rectangle.

Propriété 2

Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c'est un rectangle.

Fais glisser le point orange.

Démonstration :

ABCD est un parallélogramme tel que AC = BD. Ses côtés opposés ont donc la même longueur deux à deux, et ses diagonales ont la même longueur : ABCD est donc un rectangle.

Propriété 3

Si un parallélogramme a un angle droit alors c'est un rectangle.

Fais glisser le point orange.

Démonstration :

ABCD est un parallélogramme dont l'angle en A est droit.

Les côtés (AB) et (CD) sont parallèles et, comme (AD) est perpendiculaire à (AB), (AD) est également perpendiculaire à (CD). Donc l'angle en D est droit également.

De la même manière, les angles en B et en C sont droits eux aussi. Donc le parallélogramme ABCD est un rectangle.

Le losange

Définition et propriétés caractéristiques

Définition

Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur.

Propriété 1

Si un quadrilatère est un losange alors c'est un parallélogramme.

Démonstration :

Les côtés opposés du losange ont la même longueur deux à deux (puisque ses quatre côtés sont égaux), donc c'est un parallélogramme.

Remarque : un losange a donc toutes les propriétés du parallélogramme.

ABCD est un losange. AB = BC = CD = DA, donc ABCD est un losange.

Propriété 2

Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.

ABCD est un losange de centre O. Donc ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu O et sont perpendiculaires : OA = OC, OB = OD et (AC) ⊥ (BD).

Reconnaître un losange

Propriété 1

Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un losange.

Fais glisser le point orange.

Démonstration :

ABCD est un parallélogramme tel que AB = AD. Ses côtés opposés ont donc la même longueur deux à deux : AB = CD et AD = BC.

Or AB = AD, donc AB = BC = CD = DA. Le quadrilatère ABCD a ses quatre côtés de même longueur : c'est donc un losange.

Propriété 2

Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un losange.

Fais glisser le point orange.

ABCD est un parallélogramme dont les diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires. Donc le parallélogramme ABCD est un losange.

Le carré

Définition

Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.

ABCD est un carré. AB = BC = CD = DA et (AB) ⊥ (BC) ; (BC) ⊥ (CD) ; (CD) ⊥ (DA) ; (DA) ⊥ (AB).

Remarques : un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange. Un carré a donc toutes les propriétés du parallélogramme, du rectangle et du losange.

Reconnaître un carré

Propriété 1

Si un losange a un angle droit alors c'est un carré.

Fais glisser le point orange.

ABCD est un losange dont l'angle en A est droit. Un losange a toutes les propriétés du parallélogramme, donc les angles en B, C et D sont droits également (Propriété 3 du rectangle). ABCD a donc ses quatre côtés égaux et ses quatre angles droits : c'est un carré.

Propriété 2

Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un carré.

Fais glisser le point orange.

ABCD est un rectangle tel que AB = AD. Un rectangle est un parallélogramme, donc ABCD est aussi un losange (Propriété 1 du losange). ABCD a donc ses quatre angles droits et ses quatre côtés égaux : c'est un carré.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

🔎 Utilitaire : quel est ce quadrilatère ?

Coche les propriétés que vérifie un quadrilatère ABCD : l'outil détermine le nom le plus précis qui correspond à cette combinaison, et affiche une figure correspondante.

Ce quadrilatère est un(e) :

Quelconque

Construis un rectangle ABCD de centre O dont les diagonales mesurent 3,4 cm et tel que AB = 3 cm

Avant de construire, on représente à main levée ce que l'on cherche, avec les données de l'énoncé codées :

On trace le segment [AB] de longueur 3 cm.

Arcs de centre A et de centre B, de rayon 1,7 cm : ils se coupent en O.

O est le centre du rectangle. On trace les demi-droites [AO) et [BO), prolongées au-delà de O.

Au compas, on reporte OA au-delà de O sur [AO) pour obtenir C, et OB au-delà de O sur [BO) pour obtenir D.

On trace les côtés [BC], [CD] et [DA]. ABCD est le rectangle cherché.

Construis un losange ABCD de centre O dont les diagonales vérifient AC = 3,6 cm et BD = 2 cm

Avant de construire, on représente à main levée ce que l'on cherche, avec les données de l'énoncé codées :

On trace le segment [AC] de longueur 3,6 cm.

On trace la médiatrice de [AC] (arcs de même rayon centrés en A et en C).

O, milieu de [AC], est à l'intersection de la médiatrice et de [AC].

Au compas, on reporte 1 cm de part et d'autre de O sur la médiatrice, pour obtenir B et D.

On trace les côtés [AB], [BC], [CD] et [DA]. ABCD est le losange cherché.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Justifier qu'un quadrilatère est un losange »

Énoncé : EFGH est un parallélogramme tel que EF = EH. Justifie que EFGH est un losange.

EFGH est un parallélogramme tel que EF = EH.Ce que je sais.

Or, si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un losange.On énonce la propriété.

Donc le quadrilatère EFGH est un losange.Conclusion.

Exercices

Exercice 1

MNPQ est un rectangle de centre O tel que MP = 7,2 cm. Donne les longueurs OM, ON, OP et OQ. Justifie ta réponse.

Exercice 2

RSTU est un parallélogramme dont les diagonales [RT] et [SU] sont perpendiculaires. Justifie que RSTU est un losange.

Exercice 3

VWXY est un quadrilatère tel que les angles en V, W et X sont droits. Justifie que VWXY est un rectangle.

Exercice 4

ABCD est un losange tel que l'angle en A mesure 90°. Justifie que ABCD est un carré.

Exercice 5

Un quadrilatère peut-il être un losange sans être un parallélogramme ? Justifie ta réponse.

history_edu Un peu d'histoire

Bien avant qu'on démontre leurs propriétés, les rectangles et les carrés étaient déjà utilisés en pratique : en Égypte antique, des arpenteurs surnommés les « tendeurs de corde » utilisaient une corde à 12 nœuds régulièrement espacés pour tracer des angles droits sur le terrain, en formant un triangle de côtés 3, 4 et 5 nœuds (aujourd'hui on dirait un « triangle 3-4-5 »). Cette technique très simple leur permettait de construire des rectangles bien droits pour délimiter des champs ou poser les fondations de monuments, sans le moindre instrument de mesure d'angle.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz