Accueil › Cours de maths 5e › Opérations sur les nombres relatifs

Opérations sur les nombres relatifs

Nombres et calculs Cours de mathématiques de 5e (cinquième) · chapitre 11 · Addition de nombres relatifs · Soustraction de nombres relatifs · Somme algébrique

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

Ouvrir le chapitre interactif

menu_book Le cours

Addition de nombres relatifs

Règle 1

Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on additionne leurs valeurs absolues et on garde le signe commun.

Exemples :

(+5) et (+4) sont deux nombres positifs, donc leur somme est positive.
A = (+5) + (+4) = +9
La valeur absolue de la somme est la somme des valeurs absolues, soit 5 + 4 = 9.
(−2,3) et (−11) sont deux nombres négatifs, donc leur somme est négative.
B = (−2,3) + (−11) = −13,3
La valeur absolue de la somme est la somme des valeurs absolues, soit 2,3 + 11 = 13,3.

Remarque : la somme de deux nombres négatifs est toujours négative.

Règle 2

Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires, on soustrait leurs valeurs absolues (la plus petite à la plus grande), et le signe du résultat est celui du nombre qui a la plus grande valeur absolue.

Exemples :

C'est (+15) qui a la plus grande valeur absolue, donc la somme est positive.
C = (+15) + (−6) = +9
La valeur absolue de la somme est la différence des valeurs absolues, soit 15 − 6 = 9.
C'est (−9) qui a la plus grande valeur absolue, donc la somme est négative.
D = (+3,2) + (−9) = −5,8
La valeur absolue de la somme est la différence des valeurs absolues, soit 9 − 3,2 = 5,8.

Règle 3

La somme de deux nombres opposés est égale à 0.

Exemple :

E = (−7,4) + (+7,4) = 0

Règle 4

Pour calculer la somme de plusieurs nombres relatifs, on peut commencer par regrouper, d'un côté, les nombres positifs et calculer leur somme et, de l'autre, les nombres négatifs et calculer leur somme, puis on applique les règles précédentes.

Exemple :

F = (−6) + (+9) + (−2) + (+5) + (−3)

F = (+9) + (+5) + (−6) + (−2) + (−3)

F = (+14) + (−11) = 3

Remarque : on peut aussi commencer par regrouper les termes opposés s'il y en a.

Soustraction de nombres relatifs

Règle

Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé.

Exemples :

Soustraire (+10) revient à ajouter (−10).
G = (+6) − (+10) = (+6) + (−10) = −4
Soustraire (−8,5) revient à ajouter (+8,5).
H = (−3,5) − (−8,5) = (−3,5) + (+8,5) = 5

Remarque : la différence de deux nombres égaux est égale à 0. Par exemple : (−8) − (−8) = 0.

Somme algébrique

Règle 1

Dans une suite d'additions et de soustractions de nombres relatifs, on commence par remplacer chaque soustraction par l'addition du nombre opposé.

Exemple :

I = (−5) − (+3,2) − (−9)

I = (−5) + (−3,2) + (+9)

Règle 2

Dans une suite d'additions de nombres relatifs, on peut supprimer les signes d'addition et les parenthèses autour de chaque nombre, et le signe d'un nombre positif écrit en début de calcul.

Exemples :

J = (−4) + (+6,5) + (−2)
J = −4 + 6,5 − 2
K = (+3,3) + (−7) − (−15)
K = (+3,3) + (−7) + (+15)
K = 3,3 − 7 + 15

Règle 3

Pour calculer une somme algébrique simplifiée, on peut commencer par regrouper, d'un côté, les nombres positifs et calculer leur somme et, de l'autre, les nombres négatifs et calculer leur somme.

Exemple :

L = 6,5 − 9 + 4 − 3,5 + 11 − 2

L = 6,5 + 4 + 11 − 9 − 3,5 − 2

L = 21,5 − 14,5

L = 7

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : additionner deux nombres relatifs, un « bond » sur la droite graduée

Choisis un exemple : le point part de départ, bondit du nombre de cases indiqué, et atterrit sur le résultat.

≠

Signes différents : on soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande, et on garde le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue.

Même signe : on additionne les valeurs absolues, et on garde le signe commun.

Méthode 2 : additionner deux nombres relatifs de signes contraires

N = (+8) + (−14)

On repère les deux nombres relatifs à additionner.

Méthode 3 : calculer une somme algébrique

P = 5,2 − 8 + 3 − 1,2 + 9 − 4

On part d'une somme algébrique déjà simplifiée (sans parenthèses).

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Additionner deux nombres relatifs de signes contraires »

M = (+7) + (−12)On repère les deux nombres à additionner.

C'est (−12) qui a la plus grande valeur absolue, donc la somme est négative.On compare les valeurs absolues.

M = −(12 − 7) = −5On soustrait les valeurs absolues et on applique le signe trouvé.

Exercices

Exercice 1

Calcule : A = (−8) + (−5) B = (+6,4) + (+3,1) C = (+11) + (−4)

Exercice 2

Calcule : D = (+5) − (+9) E = (−2,5) − (−7,5) F = (−6) − (+6)

Exercice 3

Écris sans parenthèses ni signe d'addition, puis calcule : G = (+4) + (−9,5) + (−2) + (+13,5)

Exercice 4

Calcule astucieusement, en regroupant les nombres positifs entre eux et les nombres négatifs entre eux : H = 8 − 12,5 + 5 − 3 + 7,5 − 2

history_edu Un peu d'histoire

Poser des règles pour calculer avec des nombres négatifs n'a rien d'évident : c'est le mathématicien indien Brahmagupta qui, en 628, dans son livre Brahmasphutasiddhanta, pose le premier des règles complètes pour additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres positifs et négatifs (y compris la fameuse règle « moins fois moins donne plus »). Curieusement, alors que les calculs étaient déjà maîtrisés, de nombreux mathématiciens européens ont continué, bien plus tard, à considérer les nombres négatifs comme des résultats « absurdes » ou dépourvus de sens, jusqu'au 17e-18e siècle.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz