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Triangles et parallèles

Géométrie Cours de mathématiques de 4e (quatrième) · chapitre 2 · Triangles égaux : les cas d'égalité · Le théorème de Thalès · La réciproque du théorème de Thalès

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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Triangles égaux : les cas d'égalité

Définition

Deux triangles sont isométriques (on dit aussi « égaux ») lorsque leurs côtés ont deux à deux la même longueur.

Exemple : les triangles ABC, DEF et GHI sont isométriques.

Les côtés de même couleur ont la même longueur. On peut superposer DEF à ABC en le faisant glisser (et tourner), et GHI à ABC en le retournant (animation dans l'onglet Méthode).

Propriété 1

Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure deux à deux, alors ils sont isométriques.

Exemple :

RS = UV. Le côté [RS] est compris entre les angles $\hat{T R S}$ et $\hat{R S T}$ , et le côté [UV] entre les angles $\hat{W U V}$ et $\hat{U V W}$ . De plus, $\hat{T R S} = \hat{W U V} = 40 °$ et $\hat{R S T} = \hat{U V W} = 65 °$ . Donc les triangles RST et UVW sont isométriques.

Propriété 2

Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur deux à deux, alors ils sont isométriques.

Exemple :

$\hat{L K M} = \hat{Q P R} = 50 °$ . L'angle $\hat{L K M}$ est compris entre les côtés [KL] et [KM], et l'angle $\hat{Q P R}$ entre les côtés [PQ] et [PR]. De plus, KL = PQ et KM = PR. Donc les triangles KLM et PQR sont isométriques.

Propriété 3

Si deux triangles sont isométriques, alors leurs angles sont deux à deux de même mesure et ils ont la même aire.

Attention, les réciproques sont fausses :

deux triangles peuvent avoir les mêmes angles sans être isométriques (l'un peut être un agrandissement de l'autre) ;
deux triangles peuvent avoir la même aire sans être isométriques : un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 3 cm et 8 cm, et un autre de 4 cm et 6 cm, ont tous deux une aire de 12 cm².

Le théorème de Thalès

La configuration de Thalès

On considère un triangle ABC, un point M du segment [AB] et un point N du segment [AC], tels que les droites (MN) et (BC) soient parallèles. Les triangles AMN et ABC sont « emboîtés » : on associe leurs côtés deux à deux.

Côtés du triangle AMN	[AM]	[AN]	[MN]
Côtés du triangle ABC	[AB]	[AC]	[BC]

L'énoncé du théorème

Théorème de Thalès

Si, dans un triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC] et les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors :

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}

Remarque : autrement dit, les longueurs des côtés du triangle AMN sont proportionnelles aux longueurs des côtés associés du triangle ABC : le triangle AMN est une réduction du triangle ABC.

Calculer une longueur

Exemple 1 : les droites (MN) et (BC) sont parallèles, AM = 3 cm, AB = 7,5 cm, AN = 4 cm et BC = 6 cm. On cherche AC et MN.

Dans le triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC).On vérifie la configuration.

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}

D'après le théorème de Thalès.

\frac{3}{7, 5} = \frac{4}{A C} = \frac{M N}{6}

On remplace par les longueurs connues.

A C = \frac{7, 5 \times 4}{3} = 10

cmProduit en croix avec les deux premiers rapports.

M N = \frac{3 \times 6}{7, 5} = 2, 4

cmProduit en croix avec le premier et le troisième rapport.

Exemple 2 (avec un tableau de proportionnalité) : dans le triangle RST, U ∈ [RS], V ∈ [RT] et (UV) // (ST). On sait que RU = 2 cm, RV = 2,5 cm, UV = 3 cm et RS = 6 cm. On cherche RT et ST.

D'après le théorème de Thalès, les longueurs du triangle RST sont proportionnelles à celles du triangle RUV :

Triangle RUV	RU = 2 cm	RV = 2,5 cm	UV = 3 cm
Triangle RST	RS = 6 cm	RT = 2,5 × 3 = 7,5 cm	ST = 3 × 3 = 9 cm

Le coefficient est 6 ÷ 2 = 3 : le triangle RST est un agrandissement de rapport 3 du triangle RUV.

Prouver que deux droites ne sont pas parallèles

Conséquence

Si, dans un triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC] et

\frac{A M}{A B} \neq \frac{A N}{A C}

, alors les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

Exemple : AM = 6 cm, AB = 9 cm, AN = 5 cm et AC = 7 cm (la figure n'est pas en vraie grandeur).

Dans le triangle ABC, M ∈ [AB] et N ∈ [AC].

\frac{A M}{A B} = \frac{6}{9}

\frac{A N}{A C} = \frac{5}{7}

On calcule séparément les deux rapports.

6 × 7 = 42 et 9 × 5 = 45On compare avec les produits en croix.

\frac{A M}{A B} \neq \frac{A N}{A C}

Les produits sont différents.

Donc (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.Si elles l'étaient, d'après le théorème de Thalès, les rapports seraient égaux.

La réciproque du théorème de Thalès

L'énoncé de la réciproque

Réciproque du théorème de Thalès

Si, dans un triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC] et

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}

, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Attention : il ne suffit pas que les rapports soient égaux. Il faut aussi que les points soient placés dans le même ordre : M sur le segment [AB] et N sur le segment [AC].

Prouver que deux droites sont parallèles

Exemple : AM = 2,4 cm, AB = 6 cm, AN = 3 cm et AC = 7,5 cm.

Dans le triangle ABC, M ∈ [AB] et N ∈ [AC].Les points sont dans le même ordre.

\frac{A M}{A B} = \frac{2, 4}{6} = 0, 4

On calcule le premier rapport.

\frac{A N}{A C} = \frac{3}{7, 5} = 0, 4

On calcule le second rapport.

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}

Les deux rapports sont égaux.

Donc (MN) et (BC) sont parallèles.D'après la réciproque du théorème de Thalès.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : observer le théorème de Thalès et sa réciproque

\frac{A M}{A B} = \frac{2, 4}{6} = 0, 4

\frac{A N}{A C} = \frac{2}{5} = 0, 4

\frac{M N}{B C} = \frac{2, 8}{7} = 0, 4

Les rapports sont égaux : (MN) est parallèle à (BC), et MN/BC a la même valeur (théorème de Thalès).

Méthode 2 : calculer une longueur avec le théorème de Thalès

Dans le triangle EFG, H ∈ [EF], K ∈ [EG] et (HK) // (FG).

On vérifie la configuration de Thalès et le parallélisme.

Méthode 3 : prouver que deux droites sont (ou ne sont pas) parallèles

Dans le triangle IJK, P ∈ [IJ] et Q ∈ [IK].

Les points I, P, J et I, Q, K sont dans le même ordre.

Méthode 4 : superposer deux triangles isométriques

ABC (en pâle), DEF et GHI sont isométriques : les côtés de même couleur ont la même longueur.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer une longueur avec le théorème de Thalès »

Dans le triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC).1. On cite la configuration et l'hypothèse de parallélisme.

D'après le théorème de Thalès :

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}

2. On nomme le théorème et on écrit l'égalité des rapports.

On remplace les longueurs connues.3. Une seule inconnue par égalité choisie.

Produit en croix, puis on conclut avec l'unité.4. On calcule et on répond.

Exercices

Exercice 1

Deux triangles ABC et DEF vérifient : AB = DE = 5 cm,

\hat{C A B} = \hat{F D E} = 30 °

\hat{A B C} = \hat{D E F} = 70 °

. Sont-ils isométriques ? Justifie.

Exercice 2

Les triangles EFG et XYZ vérifient : EF = XY = 4 cm, EG = XZ = 7 cm et

\hat{F E G} = \hat{Y X Z} = 55 °

. Et les triangles EFG et IJK, où IJ = 4 cm, IK = 7 cm et

\hat{I J K} = 55 °

Exercice 3

Deux triangles ont tous les deux des angles de 50°, 60° et 70°. Sont-ils forcément isométriques ?

Exercice 4

Dans le triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC). On sait que AM = 4 cm, AB = 10 cm, AC = 12 cm et MN = 3 cm. Calcule AN et BC.

Exercice 5

Dans le triangle EFG, R ∈ [EF], S ∈ [EG] et (RS) // (FG). On sait que ER = 2,1 cm, EF = 3,5 cm, ES = 1,8 cm et FG = 5 cm. Calcule EG et RS.

Exercice 6

Dans le triangle ABC, M ∈ [AB] et N ∈ [AC], avec AM = 3 cm, AB = 8 cm, AN = 4 cm et AC = 10 cm. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

Exercice 7

Dans le triangle ABC, M ∈ [AB] et N ∈ [AC], avec AM = 4,5 cm, AB = 7,5 cm, AN = 3 cm et AC = 5 cm. Montre que (MN) // (BC).

Exercice 8

Pour mesurer un arbre, Noé plante un bâton vertical de 1,5 m. Il se place à l'endroit A où l'ombre du bâton et celle de l'arbre se terminent au même point. Le pied du bâton est à 2 m de A, et le pied de l'arbre à 12 m de A. Quelle est la hauteur de l'arbre ?

history_edu Un peu d'histoire

Thalès de Milet est un savant grec du 6e siècle avant J.-C. Selon la légende, rapportée plusieurs siècles plus tard, il aurait mesuré la hauteur de la grande pyramide de Khéops sans y monter : il aurait attendu le moment de la journée où l'ombre d'un bâton est égale à sa longueur, puis mesuré l'ombre de la pyramide… qui était alors égale à sa hauteur. Le théorème qui porte son nom est démontré dans les Éléments d'Euclide (vers 300 av. J.-C.), mais ce n'est qu'à la fin du 19e siècle que les manuels français lui ont donné le nom de Thalès ; dans d'autres pays, on l'appelle simplement le « théorème d'intersection » !

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz