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Divisibilité
Nombres et calculs Cours de mathématiques de 4e (quatrième) · chapitre 3 · Multiples et diviseurs d'un nombre entier · Reconnaître un nombre divisible sans poser la division · Les nombres premiers · Décomposer un nombre en facteurs premiers · Rendre une fraction irréductible
Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.
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Définitions
Multiples et diviseurs d'un nombre entier
Soient a et b deux nombres entiers positifs (b non nul). S'il existe un nombre entier q tel que a = b × q, alors :
- a est divisible par b ;
- b est un diviseur de a ;
- a est un multiple de b.
Exemple : on sait que 1 924 = 37 × 52.
- 1 924 est divisible par 52 ; 52 est un diviseur de 1 924 ; 1 924 est un multiple de 52.
- De même : 1 924 est divisible par 37 ; 37 est un diviseur de 1 924 ; 1 924 est un multiple de 37.
Remarques : dire que a est divisible par b, c'est dire que le reste de la division euclidienne de a par b est nul. Le nombre 1 est un diviseur de tous les nombres entiers, et tout nombre entier non nul est un diviseur de lui-même.
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Critères de divisibilité
Reconnaître un nombre divisible sans poser la division
- Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 (c'est un nombre pair).
- Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
- Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
- Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres (dizaines et unités) est divisible par 4.
- Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
- Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
Exemple : le nombre 31 716 est-il divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ou 10 ?
- Son chiffre des unités est 6 : 31 716 est divisible par 2, mais pas par 5 ni par 10.
- Ses deux derniers chiffres forment 16, qui est divisible par 4 : 31 716 est divisible par 4.
- La somme de ses chiffres est 3 + 1 + 7 + 1 + 6 = 18. Or 18 est un multiple de 3 et de 9 : 31 716 est divisible par 3 et par 9.
Remarque : un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3, mais la réciproque est fausse. Par exemple, 2 085 est divisible par 3 (2 + 0 + 8 + 5 = 15) mais pas par 9.
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Les nombres premiers
A
Définition
Qu'est-ce qu'un nombre premier ?
Un nombre entier est premier s'il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Exemples et remarques :
- 29 est premier : ses seuls diviseurs sont 1 et 29.
- 1 n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur.
- 2 est le seul nombre premier pair (tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2).
- 51 n'est pas premier : 5 + 1 = 6, donc il est divisible par 3 (51 = 3 × 17).
- Attention aux apparences : 91 n'est pas premier, car 91 = 7 × 13.
B
Les nombres premiers jusqu'à 100 : le crible d'Ératosthène
Pour trouver les nombres premiers jusqu'à 100, on écrit les nombres de 1 à 100, on barre 1, puis on garde 2 et on barre tous ses multiples, on garde 3 et on barre ses multiples, puis de même avec 5 et 7. Les nombres qui restent sont premiers (le crible est animé dans l'onglet Méthode).
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100
Les 25 nombres premiers inférieurs à 100 :
2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 – 17 – 19 – 23 – 29 – 31 – 37 – 41 – 43 – 47 – 53 – 59 – 61 – 67 – 71 – 73 – 79 – 83 – 89 – 97
2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 – 17 – 19 – 23 – 29 – 31 – 37 – 41 – 43 – 47 – 53 – 59 – 61 – 67 – 71 – 73 – 79 – 83 – 89 – 97
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Propriété
Décomposer un nombre en facteurs premiers
Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut s'écrire comme un produit de facteurs premiers, et cette écriture est unique (à l'ordre des facteurs près).
Exemple 1 : décomposer 360.
360 = 2 × 180On divise par le plus petit nombre premier possible : 360 est pair.
360 = 2 × 2 × 90180 est pair.
360 = 2 × 2 × 2 × 4590 est pair.
360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 1545 n'est pas pair, mais 4 + 5 = 9 : il est divisible par 3.
360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 515 = 3 × 5, et 5 est premier : on s'arrête.
360 = 2³ × 3² × 5On écrit le résultat avec des puissances.
Exemple 2 :
- 1 386 = 2 × 3 × 3 × 7 × 11 = 2 × 3² × 7 × 11. Les facteurs premiers de 1 386 sont 2, 3, 7 et 11.
Remarque : on écrit en général les facteurs premiers dans l'ordre croissant.
5
Propriété
Rendre une fraction irréductible
Pour simplifier une fraction, on peut :
- décomposer le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers ;
- simplifier par tous les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.
Exemple : rendre irréductible la fraction .
252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7On décompose le numérateur.
360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5On décompose le dénominateur.
On simplifie par les facteurs communs : 2, 2, 3 et 3.
7 et 10 n'ont plus de facteur commun : la fraction est irréductible.
draw Méthode
Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).
M
Méthode 1 : tester les critères de divisibilité
31 716
| par 2 | oui | Chiffre des unités : 6. |
| par 5 | non | Chiffre des unités : 6. |
| par 10 | non | Chiffre des unités : 6. |
| par 4 | oui | Deux derniers chiffres : 16, divisible par 4. |
| par 3 | oui | Somme des chiffres : 3 + 1 + 7 + 1 + 6 = 18, multiple de 3. |
| par 9 | oui | Somme des chiffres : 3 + 1 + 7 + 1 + 6 = 18, multiple de 9. |
M
Méthode 2 : le crible d'Ératosthène, pas à pas
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On écrit les nombres entiers de 1 à 100.
M
Méthode 3 : savoir si un nombre est premier
Le nombre 127 est-il premier ?
On teste les divisions par les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11… dans l'ordre.
M
Méthode 4 : décomposer un nombre en facteurs premiers
1 540
On veut décomposer 1 540 en produit de facteurs premiers.
M
Méthode 5 : rendre une fraction irréductible
On veut rendre cette fraction irréductible.
edit Exercices et rédaction
Rédaction type : « Justifier qu'un nombre n'est pas premier »
Le nombre 117 est-il premier ?On cherche un diviseur autre que 1 et 117.
1 + 1 + 7 = 9, qui est un multiple de 3.On applique un critère de divisibilité.
Donc 117 est divisible par 3 : 117 = 3 × 39.On donne le diviseur trouvé.
117 a au moins trois diviseurs (1, 3 et 117) : il n'est pas premier.On conclut avec la définition.
Exercices
Exercice 1
On sait que 2 184 = 24 × 91. Écris quatre phrases utilisant les mots « divisible », « diviseur » ou « multiple ».
Exercice 2
Parmi les nombres 1 035 ; 2 718 ; 4 560 et 7 245, lesquels sont divisibles par 2 ? par 3 ? par 4 ? par 5 ? par 9 ? par 10 ?
Exercice 3
Donne la liste de tous les diviseurs de 48.
Exercice 4
On considère le nombre 7 1 ▢ 2, où ▢ est un chiffre inconnu. Quelles valeurs peut prendre ▢ pour que ce nombre soit divisible par 3 ? par 9 ?
Exercice 5
Les nombres 143 ; 149 ; 161 et 197 sont-ils premiers ? Justifie.
Exercice 6
Décompose en produit de facteurs premiers : 84 ; 150 ; 1 001.
Exercice 7
Rends irréductible la fraction en décomposant son numérateur et son dénominateur.
Exercice 8
Léa affirme : « La somme de deux nombres premiers est toujours un nombre pair. » A-t-elle raison ?
history_edu Un peu d'histoire
history_edu Un peu d'histoire
Vers 300 avant J.-C., le mathématicien grec Euclide démontre dans ses Éléments qu'il existe une infinité de nombres premiers : quelle que soit la liste qu'on en dresse, on peut toujours en trouver un nouveau. Un peu plus tard, Ératosthène, directeur de la grande bibliothèque d'Alexandrie, invente le crible qui porte son nom pour les repérer (il est aussi célèbre pour avoir estimé la circonférence de la Terre avec une étonnante précision, en mesurant des ombres). Aujourd'hui, les nombres premiers protègent nos paiements par carte et nos messages sur Internet : les méthodes de chiffrement utilisent le fait qu'il est très facile de multiplier deux grands nombres premiers, mais extrêmement long de retrouver ces deux facteurs à partir de leur produit. Les chasseurs de records, eux, cherchent toujours plus grand : en 2024, le plus grand nombre premier connu comptait plus de 41 millions de chiffres !
Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.
Faire le quiz