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Translations
Géométrie Cours de mathématiques de 4e (quatrième) · chapitre 4 · Faire glisser une figure : la translation · L'image d'un point, l'image d'un segment · Ce que conserve une translation
Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.
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Définition
Faire glisser une figure : la translation
Faire glisser une figure F₁, sans la faire tourner, de sorte que le point A arrive sur le point B, c'est lui appliquer la translation qui transforme A en B. La figure F₂ obtenue est l'image de F₁ par cette translation.
- Tous les points de la fusée se déplacent de la même façon que A vers B : même direction (flèches parallèles), même sens et même longueur.
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Propriété 1
L'image d'un point, l'image d'un segment
L'image d'un point M par la translation qui transforme A en B est le point M' tel que les segments [MB] et [AM'] ont le même milieu. Si les points A, B et M ne sont pas alignés, alors le quadrilatère ABM'M est un parallélogramme.
- On peut donc construire M' au compas, comme le quatrième sommet du parallélogramme ABM'M (voir l'onglet Méthode) : M'B = AM et MM' = AB.
L'image d'un segment par une translation est un segment parallèle et de même longueur.
Exemple :
- Dans la translation qui transforme R en S, le segment [MN] a pour image le segment [M'N']. Donc les segments [MN] et [M'N'] sont parallèles et de même longueur : MN = M'N'.
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Propriété
Ce que conserve une translation
Une figure et son image par une translation sont superposables. Une translation conserve donc :
- les longueurs, les aires et les périmètres ;
- les mesures des angles ;
- l'alignement des points et les milieux.
Exemple : le quadrilatère A'B'C'D' est l'image de ABCD par la translation qui transforme A en A'.
- Les quadrilatères ABCD et A'B'C'D' ont la même aire et le même périmètre.
- Les points A, K, B sont alignés, donc leurs images A', K', B' sont aussi alignées.
- J est le milieu de [BC], donc son image J' est le milieu de [B'C'].
- L'angle est l'image de l'angle : ils ont la même mesure.
Remarque : contrairement à la symétrie centrale (un demi-tour autour d'un point), la translation ne fait pas tourner la figure : elle la fait seulement glisser.
draw Méthode
Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).
M
Méthode 1 : voir une figure glisser
La maison doit glisser de sorte que son sommet A arrive sur B.
M
Méthode 2 : construire l'image d'un point au compas
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On veut construire M', l'image de M par la translation qui transforme A en B. On prend au compas l'écartement AB.
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On trace un arc de cercle de centre M et de rayon AB.
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On prend l'écartement AM, puis on trace un arc de cercle de centre B et de rayon AM.
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Les deux arcs se coupent en M'.
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On trace le quadrilatère ABM'M : c'est un parallélogramme (côtés opposés de même longueur). M' est bien l'image de M : la flèche de M à M' est parallèle à celle de A à B, de même sens et de même longueur.
M
Méthode 3 : construire l'image d'un triangle sur un quadrillage
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Pour aller de A à B, je compte les carreaux : 5 carreaux vers la droite puis 2 carreaux vers le haut.
2
En partant de E, je fais le même déplacement : j'obtiens E'.
3
Même déplacement en partant de F : j'obtiens F'.
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Même déplacement en partant de G : j'obtiens G'.
5
Je trace le triangle E'F'G' : c'est l'image de EFG. Il a exactement la même forme et les mêmes dimensions, et ses côtés sont parallèles à ceux de EFG.
edit Exercices et rédaction
Rédaction type : « Justifier une propriété de l'image »
[E'F'] est l'image de [EF] par la translation qui transforme R en S.1. On cite la transformation.
Or une translation conserve les longueurs.2. On cite la propriété du cours.
Donc E'F' = EF = 6 cm.3. On conclut.
Exercices
Exercice 1
Par la translation qui transforme A en B, le point C (non aligné avec A et B) a pour image le point D. Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ?
Exercice 2
Le segment [EF] mesure 6 cm. Quelle est la longueur de son image [E'F'] par une translation ? Que peut-on dire des droites (EF) et (E'F') ?
Exercice 3
Un triangle a une aire de 12 cm² et l'un de ses angles mesure 50°. Que peut-on dire de son image par une translation ?
Exercice 4
I est le milieu du segment [KL]. On note K', L' et I' les images de K, L et I par une translation. Que peut-on dire du point I' ?
Exercice 5
Les points R, S et T sont alignés. Leurs images R', S' et T' par une translation sont-elles alignées ?
Exercice 6
Sur un quadrillage, la translation transforme A en B. Le point P est situé 4 carreaux à droite et 2 carreaux en dessous de A. Où se trouve son image P' ?
Exercice 7
Vrai ou faux : « l'image d'un segment par une translation peut être plus longue que ce segment ».
Exercice 8
ABCD est un parallélogramme. Quelle est l'image du point D par la translation qui transforme A en B ?
history_edu Un peu d'histoire
history_edu Un peu d'histoire
Le mot « translation » vient du latin translatio, « action de transporter ». Bien avant les mathématiciens, les artisans utilisaient les translations : les frises des vases grecs, les carrelages romains ou les mosaïques de l'Alhambra de Grenade répètent un même motif en le faisant glisser. À la fin du 19e siècle, les mathématiciens ont démontré qu'il n'existe que 17 façons de recouvrir un plan en répétant un motif (on les appelle les « groupes de papier peint »). Au 20e siècle, l'artiste néerlandais Maurits Cornelis Escher, inspiré par les mosaïques de l'Alhambra, a créé des pavages célèbres où des oiseaux, des poissons ou des lézards s'emboîtent parfaitement, image les uns des autres par des translations.
Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.
Faire le quiz