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Fractions : comparaison et addition

Nombres et calculs Cours de mathématiques de 4e (quatrième) · chapitre 5 · Un même quotient, plusieurs écritures · Comparer deux fractions · Additionner et soustraire des fractions

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Un même quotient, plusieurs écritures

Multiplier ou diviser le haut et le bas par un même nombre

Propriétés

Un quotient de deux nombres relatifs ne change pas quand on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre relatif non nul.
Un quotient de deux nombres relatifs ne change pas quand on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre relatif non nul.
Autrement dit, pour tous nombres a, b et k avec b ≠ 0 et k ≠ 0 : $\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$ et $\frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k}$ .

Exemples :

\frac{- 18}{24} = \frac{- 3 \times 6}{4 \times 6} = \frac{- 3}{4}

On a reconnu le facteur commun 6 : on simplifie par 6.

\frac{- 56}{- 42} = \frac{4 \times (- 14)}{3 \times (- 14)} = \frac{4}{3}

On simplifie par −14 : le résultat est positif.

\frac{20}{- 12} = \frac{20 \div (- 4)}{- 12 \div (- 4)} = \frac{- 5}{3} = - \frac{5}{3}

On divise par −4 pour avoir un dénominateur positif.

Remarque : grâce à cette propriété, on peut toujours écrire un quotient avec un dénominateur positif :

\frac{a}{- b} = \frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

Mettre deux fractions au même dénominateur

Définition

Réduire deux quotients au même dénominateur, c'est trouver deux quotients qui leur sont respectivement égaux et qui ont le même dénominateur. On choisit en général le plus petit multiple commun des deux dénominateurs.

Cas 1 : $\frac{7}{4}$ et $\frac{5}{12}$ -- un dénominateur est un multiple de l'autre.

12 est un multiple de 4 (12 = 4 × 3) : le dénominateur commun est 12.

\frac{7}{4} = \frac{7 \times 3}{4 \times 3} = \frac{21}{12}

\frac{5}{12}

Seule la première fraction change.

Cas 2 : $\frac{3}{5}$ et $\frac{4}{7}$ -- les dénominateurs n'ont aucun diviseur commun (autre que 1).

5 et 7 sont premiers : leur plus petit multiple commun est leur produit 5 × 7 = 35.

\frac{3}{5} = \frac{3 \times 7}{5 \times 7} = \frac{21}{35}

\frac{4}{7} = \frac{4 \times 5}{7 \times 5} = \frac{20}{35}

Chaque fraction est multipliée par le dénominateur de l'autre.

Cas 3 : $\frac{5}{6}$ et $\frac{7}{8}$ -- le cas général.

Multiples de 6 : 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30…On écrit les multiples de chaque dénominateur…

Multiples de 8 : 8 ; 16 ; 24 ; 32…… jusqu'au premier multiple commun : 24.

\frac{5}{6} = \frac{5 \times 4}{6 \times 4} = \frac{20}{24}

\frac{7}{8} = \frac{7 \times 3}{8 \times 3} = \frac{21}{24}

24 = 6 × 4 = 8 × 3.

Remarque : on peut aussi utiliser la décomposition en facteurs premiers (chapitre Divisibilité) : 6 = 2 × 3 et 8 = 2 × 2 × 2. Le plus petit multiple commun contient chaque facteur autant de fois qu'il apparaît au maximum : 2 × 2 × 2 × 3 = 24.

Comparer deux fractions

Quand les dénominateurs sont égaux

Propriété

Deux fractions qui ont le même dénominateur positif sont rangées dans le même ordre que leurs numérateurs.

Exemples :

13 > 4, donc $\frac{13}{9} > \frac{4}{9}$ .
−11 < −3, donc $\frac{- 11}{8} < \frac{- 3}{8}$ .

Attention : si un dénominateur est négatif, on commence par l'écrire avec un dénominateur positif (voir 1 A).

Quand les dénominateurs sont différents

Propriété

Pour comparer deux fractions de dénominateurs différents, on les réduit au même dénominateur (positif), puis on compare leurs numérateurs.

Exemple 1 : comparer $\frac{13}{6}$ et $\frac{25}{12}$ .

12 est un multiple de 6 : on prend 12 comme dénominateur commun.

\frac{13}{6} = \frac{13 \times 2}{6 \times 2} = \frac{26}{12}

On réduit au même dénominateur.

Or 26 > 25, donc

\frac{26}{12} > \frac{25}{12}

, c'est-à-dire

\frac{13}{6} > \frac{25}{12}

.On compare les numérateurs et on conclut avec les fractions de départ.

Exemple 2 : comparer $\frac{- 4}{9}$ et $\frac{- 5}{12}$ .

Multiples de 9 : 9 ; 18 ; 27 ; 36… et de 12 : 12 ; 24 ; 36…Le plus petit multiple commun de 9 et 12 est 36.

\frac{- 4}{9} = \frac{- 4 \times 4}{9 \times 4} = \frac{- 16}{36}

\frac{- 5}{12} = \frac{- 5 \times 3}{12 \times 3} = \frac{- 15}{36}

Or −16 < −15, donc

\frac{- 16}{36} < \frac{- 15}{36}

, c'est-à-dire

\frac{- 4}{9} < \frac{- 5}{12}

.Attention au sens avec les nombres négatifs !

Additionner et soustraire des fractions

Quand les dénominateurs sont égaux

Propriété

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de même dénominateur, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur commun.
Pour tous nombres a, b et c avec c ≠ 0 :

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}

\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}

Exemples :

A = \frac{4}{9} + \frac{11}{9}

On additionne les numérateurs, puis on simplifie par 3.

A = \frac{4 + 11}{9}

A = \frac{15}{9}

A = \frac{5}{3}

B = \frac{3}{10} - \frac{17}{10}

On soustrait les numérateurs, puis on simplifie par 2.

B = \frac{3 - 17}{10}

B = \frac{- 14}{10}

B = - \frac{7}{5}

Attention : on n'additionne jamais les dénominateurs !

\frac{4}{9} + \frac{11}{9}

est égal à

\frac{15}{9}

et non à

\frac{15}{18}

: on ajoute des neuvièmes à des neuvièmes, le résultat est toujours en neuvièmes.

Quand les dénominateurs sont différents

Propriété

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de dénominateurs différents, on commence par les réduire au même dénominateur, puis on applique la propriété précédente.

Exemple 1 :

C = \frac{5}{6} + \frac{3}{4}

C = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3}

C = \frac{10}{12} + \frac{9}{12}

C = \frac{19}{12}

Exemple 2 :

D = \frac{2}{3} - \frac{7}{5}

D = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} - \frac{7 \times 3}{5 \times 3}

D = \frac{10}{15} - \frac{21}{15}

D = - \frac{11}{15}

Exemple 3 :

E = - 3 + \frac{7}{10} - \frac{4}{15}

E = \frac{- 3 \times 30}{1 \times 30} + \frac{7 \times 3}{10 \times 3} - \frac{4 \times 2}{15 \times 2}

E = \frac{- 90}{30} + \frac{21}{30} - \frac{8}{30}

E = - \frac{77}{30}

Remarques : un nombre entier est une fraction de dénominateur 1 (−3 =

\frac{- 3}{1}

). À la fin d'un calcul, on donne le résultat sous forme de fraction irréductible (on simplifie si c'est possible).

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : trouver le plus petit dénominateur commun

Multiples de 6 : 6121824

Multiples de 8 : 81624

Le plus petit multiple commun est 24 = 6 × 4 = 8 × 3.
On multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction de dénominateur 6 par 4, ceux de l'autre par 3.

Méthode 2 : voir pourquoi il faut le même dénominateur, pas à pas

On veut calculer 5/6 + 3/4. Les parts n'ont pas la même taille : on ne peut pas simplement les compter ensemble.

On découpe chaque sixième en 2 : on obtient des douzièmes, et 5/6 = 10/12 (on a multiplié le haut et le bas par 2).

On découpe chaque quart en 3 : on obtient aussi des douzièmes, et 3/4 = 9/12 (on a multiplié le haut et le bas par 3).

Les parts ont maintenant la même taille : on les compte. 10 + 9 = 19 douzièmes, soit 5/6 + 3/4 = 19/12 (une unité entière et 7 douzièmes).

Méthode 3 : comparer, additionner ou soustraire deux fractions

\frac{- 4}{9} et \frac{- 5}{12}

On veut comparer ces deux fractions.

Plus petit multiple commun de 9 et 12 : 36 = 9 × 4 = 12 × 3.On cherche le dénominateur commun.

\frac{(- 4) \times 4}{9 \times 4} et \frac{(- 5) \times 3}{12 \times 3}

On réduit au même dénominateur.

\frac{- 16}{36} et \frac{- 15}{36}

On effectue les produits.

Or −16 < −15, donc

\frac{- 4}{9} < \frac{- 5}{12}

.On compare les numérateurs, puis on conclut avec les fractions de départ.

Méthode 4 : un calcul avec un entier et trois termes

G = 2 - \frac{5}{8} + \frac{1}{12}

On veut calculer G et donner le résultat sous forme irréductible.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer une différence de deux fractions »

F = \frac{7}{12} - \frac{5}{18}

Les dénominateurs sont différents.

Multiples de 12 : 12 ; 24 ; 36. Multiples de 18 : 18 ; 36.On cherche le plus petit multiple commun : 36.

F = \frac{7 \times 3}{12 \times 3} - \frac{5 \times 2}{18 \times 2}

On réduit au même dénominateur.

F = \frac{21}{36} - \frac{10}{36}

On effectue les produits.

F = \frac{11}{36}

On soustrait les numérateurs ; 11 et 36 n'ont pas de diviseur commun : c'est terminé.

Exercices

Exercice 1

Complète les égalités :

\frac{- 21}{35} = \frac{\dots}{5}

;

\frac{16}{- 24} = \frac{- 2}{\dots}

;

\frac{4}{- 9} = \frac{\dots}{27}

Exercice 2

Réduis au même dénominateur : a)

\frac{3}{8}

\frac{5}{24}

; b)

\frac{2}{9}

\frac{5}{6}

; c)

\frac{- 7}{10}

\frac{4}{15}

Exercice 3

Range dans l'ordre croissant :

\frac{5}{12}

;

\frac{3}{4}

;

\frac{2}{3}

;

\frac{7}{12}

;

\frac{1}{2}

Exercice 4

Compare : a)

\frac{- 5}{6}

\frac{- 7}{9}

; b)

\frac{11}{8}

\frac{17}{12}

Exercice 5

Calcule et donne le résultat sous forme irréductible :

A = \frac{13}{15} + \frac{7}{15}

;

B = \frac{5}{12} - \frac{11}{12}

;

C = \frac{- 4}{7} - \frac{9}{7}

Exercice 6

Calcule et donne le résultat sous forme irréductible :

D = \frac{3}{4} + \frac{5}{6}

;

E = \frac{7}{10} - \frac{8}{15}

;

F = - 2 + \frac{5}{6}

Exercice 7

Dans un collège,

\frac{3}{8}

des élèves viennent en bus,

\frac{1}{3}

à pied et les autres en voiture. a) Quelle fraction des élèves vient en voiture ? b) Le collège compte 480 élèves : combien viennent en voiture ?

Exercice 8

Tom a écrit :

\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{3}{7}

. Explique son erreur et corrige-la.

history_edu Un peu d'histoire

Il y a près de 4 000 ans, les scribes égyptiens calculaient déjà avec des fractions, mais presque uniquement avec des fractions de numérateur 1 (les « fractions unitaires »). Le papyrus Rhind, copié vers 1650 avant J.-C. par le scribe Ahmès, contient une table qui écrit par exemple

\frac{2}{5}

sous la forme

\frac{1}{3} + \frac{1}{15}

: additionner des fractions était donc pour eux un exercice quotidien ! La barre de fraction horizontale apparaît plus tard chez les mathématiciens arabes (on la trouve au 12e siècle chez al-Hassar), puis se répand en Europe grâce au Liber abaci de Fibonacci (1202). Les mots eux-mêmes racontent l'idée de la fraction : le dénominateur (du latin denominare, « nommer ») donne le nom des parts -- des tiers, des quarts, des douzièmes… -- et le numérateur (de numerus, « nombre ») compte combien on en prend. C'est pour cela qu'on ne peut additionner que des parts de même nom : des douzièmes avec des douzièmes !

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz