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Opérations sur les nombres relatifs

Nombres et calculs Cours de mathématiques de 4e (quatrième) · chapitre 1 · Additionner et soustraire des nombres relatifs · Multiplier des nombres relatifs · L'inverse d'un nombre relatif · Diviser des nombres relatifs · Enchaîner les opérations : les priorités

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Additionner et soustraire des nombres relatifs

La somme de deux nombres relatifs

Propriétés

Deux nombres de même signe : leur somme garde ce signe commun, et sa distance à zéro est la somme des distances à zéro.
Deux nombres de signes contraires : leur somme prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro, et sa distance à zéro est la différence des distances à zéro.

Exemple 1 :

A = (−7) + (−4)Les deux nombres sont négatifs : même signe.

A = −(7 + 4)On additionne les distances à zéro et on garde le signe commun : −.

A = −11On calcule.

Exemple 2 :

B = (+3,5) + (−9)Un nombre positif et un nombre négatif : signes contraires.

B = −(9 − 3,5)On soustrait les distances à zéro ; −9 a la plus grande distance à zéro, le résultat est négatif.

B = −5,5On calcule.

Remarque : la somme de deux nombres opposés est nulle. Par exemple : (−12,6) + (+12,6) = 0.

Soustraire, c'est ajouter l'opposé

Définition

L'opposé d'un nombre relatif est le nombre qui a la même distance à zéro mais le signe contraire.

Exemple 1 :

Les opposés de −4,2 ; 17 ; −0,05 et 380 sont 4,2 ; −17 ; 0,05 et −380. Le nombre 0 est son propre opposé.

Propriété

Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.

Exemple 2 :

C = (−8) − (−5)On veut soustraire le nombre −5.

C = (−8) + (+5)On ajoute l'opposé de −5, c'est-à-dire +5.

C = −(8 − 5)Signes contraires : on soustrait les distances à zéro, et −8 impose son signe.

C = −3On calcule.

Exemple 3 :

D = 2 − 11On soustrait 11 : on ajoute son opposé −11.

D = 2 + (−11)Signes contraires : −11 a la plus grande distance à zéro.

D = −9On calcule.

Enchaîner des additions et des soustractions

Méthode

On remplace chaque soustraction par l'addition de l'opposé. On peut ensuite supprimer les signes d'addition et les parenthèses (on obtient une somme algébrique), puis regrouper les nombres positifs d'un côté et les nombres négatifs de l'autre.

Exemple 1 :

E = (−6) − (+2) + (−3) − (−10)

E = (−6) + (−2) + (−3) + (+10)On transforme chaque soustraction en addition de l'opposé.

E = −6 − 2 − 3 + 10On supprime les signes d'addition et les parenthèses.

E = −11 + 10On regroupe les nombres négatifs : −6 − 2 − 3 = −11.

E = −1On termine le calcul.

Exemple 2 :

F = 7,5 − 12 + 4 − 2,5Somme algébrique déjà écrite sans parenthèses.

F = 7,5 + 4 − 12 − 2,5On regroupe les nombres positifs, puis les nombres négatifs.

F = 11,5 − 14,5On calcule chaque groupe.

F = −3On termine le calcul.

Multiplier des nombres relatifs

La règle des signes

Propriété

Le produit de deux nombres relatifs a pour distance à zéro le produit des distances à zéro. Il est :

positif si les deux nombres sont de même signe ;
négatif si les deux nombres sont de signes contraires.

×	+	−
+	+	−
−	−	+

Exemple 1 :

G = (−6) × (−1,5)Deux nombres négatifs : même signe.

G = 6 × 1,5Le produit est positif : on multiplie les distances à zéro.

G = 9On calcule.

Exemple 2 :

H = 0,4 × (−25)Un nombre positif et un nombre négatif : signes contraires.

H = −(0,4 × 25)Le produit est négatif.

H = −10On calcule.

Propriété

Multiplier un nombre relatif par −1 revient à prendre son opposé : pour tout nombre relatif a, (−1) × a = −a.

Exemple :

(−1) × 8,3 = −8,3 et (−1) × (−14) = 14.

Le signe d'un produit de plusieurs facteurs

Propriété

Un produit de nombres relatifs (non nuls) est :

positif s'il comporte un nombre pair de facteurs négatifs ;
négatif s'il comporte un nombre impair de facteurs négatifs.

Exemple 1 :

Le produit I = (−3) × 8 × (−1,2) × (−5) × 2,5 comporte trois facteurs négatifs : c'est un nombre impair, donc I est négatif.

Exemple 2 :

J = (−2,5) × (−7) × (−4) × 3 × (−2)On détermine d'abord le signe du produit.

J = 2,5 × 7 × 4 × 3 × 2Quatre facteurs négatifs : 4 est pair, donc J est positif.

J = (2,5 × 4) × (7 × 3 × 2)On regroupe astucieusement les facteurs.

J = 10 × 42On calcule chaque groupe.

J = 420On termine le calcul.

Remarque : si l'un des facteurs est égal à 0, le produit est nul, quels que soient les autres facteurs.

L'inverse d'un nombre relatif

Définition

Deux nombres relatifs sont inverses l'un de l'autre lorsque leur produit est égal à 1.

Exemples :

4 et 0,25 sont inverses car 4 × 0,25 = 1.
−5 et −0,2 sont inverses car (−5) × (−0,2) = 1.
L'inverse de −10 est −0,1 car (−10) × (−0,1) = 1.

Remarques : deux nombres inverses ont toujours le même signe (leur produit, 1, est positif). Le nombre 0 n'a pas d'inverse. L'inverse d'un nombre a non nul s'écrit

\frac{1}{a}

: par exemple, l'inverse de 8 est

\frac{1}{8}

, soit 0,125.

Attention : ne pas confondre l'inverse (le produit vaut 1) et l'opposé (la somme vaut 0). L'opposé de 4 est −4, son inverse est 0,25.

Diviser des nombres relatifs

Propriété

Le quotient de deux nombres relatifs (le diviseur n'étant pas nul) a pour distance à zéro le quotient des distances à zéro. Il est :

positif si les deux nombres sont de même signe ;
négatif si les deux nombres sont de signes contraires.

Exemple 1 :

K = (−72) ÷ 8On détermine d'abord le signe du quotient : signes contraires.

K = −(72 ÷ 8)Le quotient est négatif : on divise les distances à zéro.

K = −9On calcule.

Exemple 2 :

L = \frac{- 4, 2}{- 0, 6}

On détermine d'abord le signe du quotient : deux nombres négatifs.

L = \frac{4, 2}{0, 6}

Même signe : le quotient est positif.

L = 7On calcule.

Remarques :

La règle des signes est la même pour la division que pour la multiplication.
Le quotient de 0 par un nombre non nul est égal à 0 : pour tout nombre relatif a non nul, $\frac{0}{a} = 0$ . En revanche, on ne divise jamais par 0.
Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse : (−3) ÷ 0,5 = (−3) × 2 = −6.

Enchaîner les opérations : les priorités

Propriété

Dans une suite d'opérations avec des nombres relatifs, on effectue dans l'ordre :

les calculs entre parenthèses ;
les multiplications et les divisions ;
les additions et les soustractions.

Exemple 1 :

M = 3 − 4 × (−5 + 2)On repère le calcul prioritaire : la parenthèse.

M = 3 − 4 × (−3)On effectue ensuite la multiplication.

M = 3 − (−12)Soustraire −12, c'est ajouter 12.

M = 3 + 12On termine par l'addition.

M = 15

Exemple 2 :

N = (−18) ÷ (−3) − 2 × (−4) + (−7)Pas de parenthèse de calcul : on commence par la division et la multiplication.

N = 6 − (−8) + (−7)On transforme les soustractions en additions de l'opposé.

N = 6 + 8 − 7Somme algébrique : on calcule de gauche à droite.

N = 7

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : calculer une somme algébrique

S = (+4) − (−9) + (−12) − (+3,5)

On part d'un enchaînement d'additions et de soustractions.

Méthode 2 : trouver le signe d'un produit en comptant les facteurs négatifs

−2×5×(−0,5)×(−4)×3

Méthode 3 : calculer un quotient de nombres relatifs

Q = (−6,3) ÷ (−0,9)

On veut diviser deux nombres relatifs.

Méthode 4 : calculer une expression en respectant les priorités

T = 10 − 2 × (1 − 6) ÷ (−5)

On repère le calcul prioritaire : la parenthèse.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer un produit de plusieurs nombres relatifs »

P = (−5) × 3 × (−0,2) × (−4)On compte les facteurs négatifs : il y en a 3.

P = −(5 × 3 × 0,2 × 4)3 est impair : le produit est négatif.

P = −((5 × 0,2) × (3 × 4))On regroupe astucieusement.

P = −(1 × 12)On calcule chaque groupe.

P = −12On termine le calcul.

Exercices

Exercice 1

Calcule : A = (−13) + (−8) B = (+4,6) + (−10) C = (−2,7) − (−9)

Exercice 2

Écris sans parenthèses, puis calcule : D = (+5) − (+12) + (−3,5) − (−7,5)

Exercice 3

Calcule : E = (−9) × (−7) F = 1,5 × (−8) G = (−0,5) × (−0,5)

Exercice 4

Sans calculer, donne le signe de H = (−1) × (−2) × (−3) × … × (−9), le produit des nombres entiers de −1 à −9. Justifie.

Exercice 5

Donne l'inverse de chaque nombre : 2 ; −0,5 ; 10 ; −4.

Exercice 6

Calcule : I = (−56) ÷ (−7) J = 4,8 ÷ (−1,2) K = (−0,9) ÷ 0,3

Exercice 7

Calcule en respectant les priorités : L = −2 + 5 × (−3 − 1)

Exercice 8

Calcule en respectant les priorités : M = (−24) ÷ (−6) − 3 × (−2,5) − 10

history_edu Un peu d'histoire

La règle « moins par moins donne plus » est écrite pour la première fois par le mathématicien indien Brahmagupta, en 628 : il parle de « fortunes » (les nombres positifs) et de « dettes » (les nombres négatifs), et énonce que « le produit de deux dettes est une fortune ». En Europe, cette règle a longtemps paru mystérieuse : au début du 19e siècle, l'écrivain Stendhal, alors élève passionné de mathématiques, raconte dans ses souvenirs qu'aucun de ses professeurs n'arrivait à lui expliquer pourquoi « moins par moins donne plus ». La justification actuelle est simple : pour que la distributivité reste vraie avec les nombres négatifs, il faut que (−1) × (−1) = 1.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz