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Proportionnalité

Données et probabilités Cours de mathématiques de 4e (quatrième) · chapitre 13 · La quatrième proportionnelle · Utiliser la proportionnalité

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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La quatrième proportionnelle

Propriété

Dans un tableau de proportionnalité dont on connaît trois valeurs a, b et c, on peut calculer la valeur manquante x, appelée quatrième proportionnelle, grâce à l'égalité des produits en croix :

Grandeur 1	a	c
Grandeur 2	b	x ?

a \times x = b \times c

donc

x = \frac{b \times c}{a}

Exemple 1 : 4 kg de pommes coûtent 9,80 €. Le prix payé est proportionnel à la masse achetée. Combien coûtent 7 kg ?

Masse (kg)	4	7
Prix (€)	9,80	x ?

On regroupe les données dans un tableau de proportionnalité.

x = \frac{7 \times 9, 80}{4}

On calcule la quatrième proportionnelle.

x = 17, 15

7 kg de pommes coûtent 17,15 €.On conclut par une phrase.

Exemple 2 : un fichier de 360 Mo est téléchargé en 48 secondes. Combien de temps faut-il, dans les mêmes conditions, pour un fichier de 1 500 Mo ?

On suppose le débit de la connexion constant : la durée est proportionnelle à la taille du fichier.

Taille (Mo)	360	1 500
Durée (s)	48	x ?

x = \frac{1 500 \times 48}{360}

200 s = 3 × 60 s + 20 s.

x = 200

Il faut 200 s, soit 3 min 20 s.

Remarque : dans l'exemple 1, on peut aussi passer par l'unité : 9,80 ÷ 4 = 2,45 € le kilogramme, puis 2,45 × 7 = 17,15 €. Dans l'exemple 2, le « passage à l'unité » donne 48 ÷ 360 = 0,133 3… s par Mo, un nombre peu pratique : le calcul direct de la quatrième proportionnelle est alors bien plus efficace.

Utiliser la proportionnalité

Calculer un pourcentage

Exemple : un club sportif compte 240 adhérents, dont 84 sont mineurs. Quel est le pourcentage de mineurs dans ce club ?

On cherche le nombre de mineurs pour 100 adhérents, avec la même proportion.

Mineurs	84	x ?
Adhérents	240	100

Un pourcentage est une proportion « sur 100 ».

x = \frac{84 \times 100}{240}

x = 35

35 % des adhérents sont mineurs.

La vitesse moyenne

Définition

Si un mobile parcourt une distance d pendant une durée t, sa vitesse moyenne v est le quotient de d par t :

v = \frac{d}{t}

et donc

d = v \times t

;

t = \frac{d}{v}

Exemple 1 : un cycliste parcourt 45 km en 1 h 48 min. Quelle est sa vitesse moyenne ?

t = 1 h 48 min = 1 h +

\frac{48}{60}

h = 1,8 hOn convertit la durée en heures décimales.

v = \frac{45 km}{1, 8 h}

v = 25 km/h

Exemple 2 : à 90 km/h, combien de temps faut-il pour parcourir 60 km ?

t = \frac{60}{90} h

t = \frac{2}{3} h

\frac{2}{3} \times 60 min = 40 min

On convertit en minutes.

Attention aux unités : 1 h 48 min n'est pas 1,48 h (48 minutes, c'est 0,8 h). Et la vitesse s'exprime dans les unités de d et de t : en km/h, en m/s… Pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par 3,6 (1 m/s = 3 600 m/h = 3,6 km/h).

Les grandeurs composées

Une vitesse est une grandeur quotient : elle s'obtient en divisant une grandeur par une autre (km/h). En voici deux autres.

Exemple 1 : le débit. Un robinet qui fuit perd 432 L d'eau par jour. Quel est son débit, en L/min ?

Le débit est la quantité d'eau écoulée par unité de temps. Une journée compte 24 × 60 = 1 440 min.

Volume (L)	432	x ?
Durée (min)	1 440	1

x = \frac{432 \times 1}{1 440} = 0, 3

: le débit de la fuite est de 0,3 L/min.

Exemple 2 : la masse volumique. L'aluminium a une masse volumique de 2,7 kg/dm³ : 1 dm³ d'aluminium pèse 2,7 kg. Combien pèse une plaque d'aluminium de 3,2 dm³ ?

Volume (dm³)	1	3,2
Masse (kg)	2,7	x ?

x = \frac{3, 2 \times 2, 7}{1} = 8, 64

: la plaque pèse 8,64 kg.

Remarque : l'eau a une masse volumique de 1 kg/dm³ (1 litre d'eau pèse 1 kg). Un matériau de masse volumique inférieure à 1 kg/dm³, comme le bois de chêne (environ 0,7 kg/dm³), flotte sur l'eau.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : calculer une quatrième proportionnelle

x \times 4 = 7 \times 9, 8

Les produits en croix sont égaux : x est sur la même diagonale que le nombre en orange.

x = \frac{7 \times 9, 8}{4}

On multiplie les deux nombres de l'autre diagonale (en vert) et on divise par le troisième (en orange).

x = 17, 15

Calcul : 7 × 9,8 ÷ 4.

Méthode 2 : distance, durée et vitesse sur un trajet

t = \frac{d}{v}

Durée = distance ÷ vitesse, en heures.

t = \frac{120}{50}

t = 2, 4 h

2,4 h = 2 h + 0,4 × 60 min = 2 h 24 minOn convertit la partie décimale des heures en minutes (× 60).

Méthode 3 : remplir une cuve (le débit)

t = \frac{V}{d \overset{ˊ}{e} bit}

Le débit est le volume écoulé par minute : on divise le volume par le débit.

t = \frac{1 200}{16}

t = 75 min

75 min = 1 h 15 minConversion en heures et minutes (60 min = 1 h).

Méthode 4 : convertir une vitesse, pas à pas

v = 300 km/h : le train parcourt 300 km en 1 h.

On traduit la vitesse en une distance parcourue pendant une durée.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer une vitesse moyenne »

Léo court 10 km en 50 minutes. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ?

d = 10 km et t = 50 min =

\frac{50}{60}

h =

\frac{5}{6}

h.On veut des km/h : on convertit la durée en heures.

v = \frac{d}{t} = 10 \div \frac{5}{6} = 10 \times \frac{6}{5} = 12

On applique la formule (diviser par 5/6, c'est multiplier par 6/5).

La vitesse moyenne de Léo est de 12 km/h.On conclut avec l'unité.

Exercices

Exercice 1

Calcule la quatrième proportionnelle dans chaque tableau.

Grandeur 1	12	18
Grandeur 2	30	x ?

Grandeur 1	2,5	x ?
Grandeur 2	7	21

Exercice 2

Pour 6 personnes, une recette de crêpes utilise 450 g de farine. Quelle quantité faut-il pour 10 personnes ?

Exercice 3

a) 27 élèves sur 36 ont réussi un test : quel pourcentage cela représente-t-il ? b) Un pull passe de 45 € à 36 € : quel est le pourcentage de réduction ?

Exercice 4

Un train parcourt 210 km en 1 h 30 min. Calcule sa vitesse moyenne.

Exercice 5

Une voiture roule à la vitesse moyenne de 80 km/h. a) Quelle distance parcourt-elle en 2 h 15 min ? b) Combien de temps met-elle pour parcourir 100 km ?

Exercice 6

Convertis : 72 km/h en m/s ; 15 m/s en km/h.

Exercice 7

Un tuyau d'arrosage débite 24 L par minute. Combien de temps faut-il pour remplir une piscine gonflable de 3 000 L ?

Exercice 8

Le fer a une masse volumique de 7,9 kg/dm³. Combien pèse un cube de fer de 2 dm d'arête ? Flotte-t-il sur l'eau ?

history_edu Un peu d'histoire

La « règle de trois », qui permet de calculer une quatrième proportionnelle à partir de trois nombres, est très ancienne : les mathématiciens indiens, comme Brahmagupta au 7e siècle, l'appellent trairāśika (« les trois quantités ») et l'utilisent pour le commerce. Elle passe par les savants arabes et arrive en Europe grâce au Liber abaci de Fibonacci (1202), où les marchands italiens apprennent à convertir des monnaies et des poids. La masse volumique a sa propre légende : selon l'architecte romain Vitruve, Archimède aurait compris, en entrant dans son bain, comment mesurer le volume d'une couronne pour vérifier qu'elle était en or pur… et serait sorti dans la rue en criant « Eurêka ! » (« J'ai trouvé ! »). Enfin, en 1795, les révolutionnaires français définissent le kilogramme comme la masse d'un décimètre cube d'eau : c'est pour cela que la masse volumique de l'eau vaut exactement 1 kg/dm³.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz