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Équations
Nombres et calculs Cours de mathématiques de 4e (quatrième) · chapitre 14 · Qu'est-ce qu'une équation ? · Résoudre une équation
Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.
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Définition 1
Qu'est-ce qu'une équation ?
Une équation à une inconnue est une égalité entre deux expressions littérales (ses deux membres) qui contiennent une ou plusieurs fois la même lettre, l'inconnue.
Exemple 1 : l'égalité est une équation.
- Son membre de gauche est , son membre de droite est ; ils sont séparés par le signe « = ».
- L'inconnue est notée x ; elle n'apparaît ici que dans le membre de gauche.
Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vraie. Ces valeurs sont les solutions de l'équation.
Exemple 2 : on considère l'équation .
Pour x = 3 : , et −1 ≠ −13 : l'égalité est fausse.3 n'est pas solution.
Pour x = −3, on calcule le membre de gauche :
L'égalité est vraie : −3 est solution.
On admet que cette équation n'a qu'une seule solution : −3.Tester des valeurs au hasard n'est pas une méthode : il faut une technique de résolution.
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Résoudre une équation
A
Propriété 1
Les règles pour isoler l'inconnue
Une égalité reste vraie quand on ajoute ou soustrait un même nombre aux deux membres.
Exemple :
On soustrait 12 aux deux membres.
La solution est −7.
Exemple :
On ajoute 4,5 aux deux membres.
La solution est 6,5.
Une égalité reste vraie quand on multiplie ou divise les deux membres par un même nombre non nul.
Exemple :
On divise les deux membres par 6.
La solution est 3,5.
Exemple :
On multiplie les deux membres par 4.
La solution est −12.
Pour résoudre une équation, on isole l'inconnue dans un membre en utilisant les deux propriétés précédentes : d'abord on ajoute ou on soustrait, puis on multiplie ou on divise.
Exemple 3 : résoudre .
On soustrait 9 aux deux membres (propriété 1).
On réduit.
On divise par −4 (propriété 2) : attention au signe !
14 ÷ (−4) = −3,5 : la solution est −3,5.
Vérification (toujours prudente !) : on remplace x par −3,5 dans le membre de gauche : . On obtient bien le membre de droite : −3,5 est la solution.
Exemple 4 : quand l'inconnue est dans les deux membres, .
On soustrait 2x aux deux membres : l'inconnue ne reste qu'à gauche.
On réduit.
, donc On ajoute 3, puis on divise par 3. Vérification : 5 × 4 − 3 = 17 et 2 × 4 + 9 = 17.
B
Résoudre un problème avec une équation
Exemple : un rectangle a une largeur de x cm et une longueur de 5 cm de plus que sa largeur. Son périmètre est de 38 cm. Quelles sont ses dimensions ?
On note x la largeur, en cm. La longueur est alors x + 5.1. On choisit l'inconnue.
, soit 2. On met le problème en équation, puis on développe et réduit.
, donc 3. On résout l'équation.
Vérification : largeur 7 cm, longueur 12 cm, périmètre 2 × 12 + 2 × 7 = 38 cm.4. On vérifie avec l'énoncé.
Le rectangle mesure 12 cm sur 7 cm.5. On conclut par une phrase qui répond à la question.
draw Méthode
Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).
M
Méthode 1 : tester des valeurs de l'inconnue
0
Pour x = 0 : 3x + 4 vaut 4 et −11 vaut −11. Le membre de gauche est plus grand.
M
Méthode 2 : résoudre une équation, rédaction complète
L'équation réduite.
On soustrait 5 aux deux membres.
On réduit.
On divise les deux membres par -3 (attention au signe).
La solution n'est pas un nombre décimal : on la laisse sous forme de fraction irréductible.
Vérification : le membre de gauche vaut et le membre de droite .Les deux membres sont égaux : la solution est juste.
M
Méthode 3 : mettre un problème en équation, pas à pas
On note x la somme de Léa, en euros.
1. On choisit l'inconnue : ici, ce qu'a Léa, puisque les autres sommes s'expriment à partir de la sienne.
M
Méthode 4 : le jeu « Je pense à un nombre »
« Je pense à un nombre. Je le multiplie par 6, puis j'ajoute 9. Je trouve 63. » Quel est mon nombre ?
edit Exercices et rédaction
Rédaction type : « Résoudre une équation et vérifier la solution »
L'inconnue est dans les deux membres.
On soustrait 3x aux deux membres.
On réduit.
On ajoute 4 aux deux membres.
On réduit.
On divise les deux membres par 4.
Vérification : 7 × 3,5 − 4 = 20,5 et 3 × 3,5 + 10 = 20,5.Les deux membres sont égaux.
La solution de l'équation est 3,5.On conclut.
Exercices
Exercice 1
Le nombre 4 est-il solution de l'équation ? Et le nombre −2 ?
Exercice 2
Résous : ; ; ; .
Exercice 3
Résous : ; ; .
Exercice 4
Résous et donne la solution sous forme de fraction : ; .
Exercice 5
Résous : ; .
Exercice 6
Résous (commence par développer).
Exercice 7
Un triangle équilatéral a des côtés de longueur x + 1 (en cm), et un carré des côtés de longueur x. Ils ont le même périmètre. Trouve x.
Exercice 8
Dans un parc, un billet adulte coûte 12 € et un billet enfant 7 €. Une famille avec 2 adultes a payé 59 €. Combien d'enfants y a-t-il ?
history_edu Un peu d'histoire
history_edu Un peu d'histoire
Les équations sont parmi les plus vieux problèmes de mathématiques. Le papyrus Rhind (Égypte, vers 1650 avant J.-C.) pose déjà des « problèmes du tas » ; par exemple : « un tas et son septième font 19 ; quel est le tas ? » Avec nos notations, c'est , dont la solution est , soit 16,625 : les scribes la trouvaient par une méthode de « fausse position ». Au 3e siècle, le Grec Diophante écrit les Arithmétiques, un recueil de problèmes à équations. Une célèbre énigme, gravée sur sa tombe selon la légende, permet de retrouver son âge : « Son enfance dura un sixième de sa vie, sa jeunesse un douzième ; il se maria après un septième de sa vie, et eut un fils cinq ans plus tard. Le fils vécut la moitié de l'âge de son père, qui mourut quatre ans après lui. » Mettez-la en équation : vous trouverez que Diophante a vécu 84 ans. Enfin, vers 820, Al-Khwârizmî décrit à Bagdad les deux gestes que tu utilises : al-jabr, « faire passer » un terme d'un membre à l'autre, et al-muqabala, « équilibrer » en réduisant les termes semblables.
Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.
Faire le quiz