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Géométrie Cours de mathématiques de 4e (quatrième) · chapitre 15 · La pyramide · Le cône de révolution · Le volume d'une pyramide et d'un cône · Se repérer dans l'espace

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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La pyramide

Vocabulaire

Définitions

Une pyramide est un solide dont :

une face, appelée base, est un polygone ;
les autres faces, appelées faces latérales, sont des triangles qui ont un sommet commun : le sommet de la pyramide.

La hauteur d'une pyramide est le segment issu de son sommet et perpendiculaire à la base. Une arête latérale relie un sommet de la base au sommet de la pyramide.

Le sommet de cette pyramide est le point S.
Sa base est le rectangle EFGH.
Ses faces latérales sont les triangles SEF, SFG, SGH et SHE.
Ses arêtes latérales sont [SE] (en orange), [SF], [SG] et [SH].
Sa hauteur est le segment [SO], où O est le centre du rectangle.

Remarques : une pyramide à base triangulaire s'appelle un tétraèdre (toutes ses faces sont des triangles). Une pyramide régulière a pour base un polygone régulier (triangle équilatéral, carré, hexagone régulier…) et ses faces latérales sont des triangles isocèles superposables ; sa hauteur passe par le centre de la base.

Patron

Voici le patron d'une pyramide régulière à base carrée : la base est un carré de 4 cm de côté, et chaque arête latérale mesure 5 cm (codage orange). Les quatre faces latérales sont des triangles isocèles superposables, posés sur les côtés du carré. Un patron qui se replie est animé dans l'onglet Méthode.

Le cône de révolution

Vocabulaire

Définitions

Un cône de révolution est le solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un des côtés de son angle droit.
Sa base est un disque ; sa hauteur est le segment qui joint le centre de ce disque au sommet du cône (il est perpendiculaire à la base).
Une génératrice est un segment qui joint le sommet du cône à un point du cercle de base.

Le sommet du cône est le point S.
Sa base est le disque de centre O et de rayon [OA] ; en perspective, on le représente par un ovale.
Sa hauteur est le segment [SO].
[SA] est une génératrice (en orange).
Le triangle SOA, rectangle en O, engendre le cône en tournant autour de (SO).

Patron

Exemple : patron d'un cône de rayon 2 cm et de génératrice 6 cm.

Le patron est formé d'un disque de rayon 2 cm et d'un secteur de disque de rayon 6 cm (la génératrice).

La longueur de l'arc du secteur est égale au périmètre de la base : 2 × π × 2 = 4π cm.Quand on enroule le secteur, son arc fait le tour de la base.

L'angle du secteur est proportionnel à la longueur de son arc : un tour complet (360°) correspondrait à 2 × π × 6 = 12π cm.

angle = \frac{360 \times 4 π}{12 π}

Raccourci : angle = 360° × rayon ÷ génératrice.

angle = 120 °

Le volume d'une pyramide et d'un cône

Propriété

Le volume d'une pyramide ou d'un cône de révolution est donné par la formule :

V = \frac{aire de la base \times hauteur}{3}

Remarque : les unités doivent être cohérentes. Si les longueurs sont en m, l'aire de la base est en m² et le volume en m³. Pourquoi « divisé par 3 » ? Un cube peut être découpé en 3 pyramides identiques (voir l'animation de l'onglet Méthode) : le volume d'une pyramide est le tiers de celui du prisme de même base et de même hauteur.

Exemple 1 : volume d'une pyramide de hauteur 6 m, dont la base est un carré de 4,5 m de côté.

A = c \times c = 4, 5 \times 4, 5 = 20, 25

m²On calcule l'aire de la base : c'est un carré.

V = \frac{A \times h}{3} = \frac{20, 25 \times 6}{3} = 40, 5

m³On applique la formule.

Le volume de la pyramide est 40,5 m³.

Exemple 2 : volume d'un cône de révolution de hauteur 10 cm, dont la base a un rayon de 6 cm.

A = π \times r^{2} = π \times 6^{2} = 36 π

cm²L'aire de la base : un disque de rayon 6 cm.

V = \frac{36 π \times 10}{3} = 120 π

cm³On garde π pour la valeur exacte.

Valeur exacte : 120π cm³ ; valeur arrondie au cm³ : 377 cm³.La calculatrice affiche 376,99…

Se repérer dans l'espace

Propriété

Dans un repère de l'espace (trois axes gradués de même origine O, deux à deux perpendiculaires), tout point M est repéré par ses trois coordonnées :

la première, lue sur l'axe (Ox), est l'abscisse ;
la deuxième, lue sur l'axe (Oy), est l'ordonnée ;
la troisième, lue sur l'axe (Oz), est la cote (ou altitude).

On construit le pavé droit de sommets O et M dont les arêtes sont parallèles aux axes. On lit : abscisse 3, ordonnée 4, cote 2.
Le point M a pour coordonnées (3 ; 4 ; 2).

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : observer une pyramide ou un cône sous tous les angles

Pyramide à base rectangulaire : 5 faces (1 base rectangulaire + 4 triangles) · 8 arêtes · 5 sommets.

Méthode 2 : replier le patron d'une pyramide

Méthode 3 : pourquoi divise-t-on par 3 ? Trois pyramides dans un cube

Le cube, de côté a, a pour volume a × a × a = a³.

Méthode 4 : le patron d'un cône, pour n'importe quelles dimensions

Arc du secteur = périmètre de la base =

2 \times π \times 3 = 6 π

cm.Le secteur, enroulé, fait exactement le tour de la base.

angle = 360 ° \times \frac{3}{5}

Proportionnalité : 360° pour un cercle entier de rayon égal à la génératrice.

angle = 216 °

Méthode 5 : placer un point dans un repère de l'espace

M ( 3 ; 4 ; 2 ) — abscisse ; ordonnée ; cote

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer le volume d'un cône »

Un cône de révolution a une hauteur de 7 cm et une base de rayon 3 cm. Calculer son volume, valeur exacte puis arrondie au cm³.

A_{base} = π \times 3^{2} = 9 π

cm²La base est un disque de rayon 3 cm.

V = \frac{A_{base} \times h}{3} = \frac{9 π \times 7}{3}

On écrit la formule et on remplace.

V = 21 π

cm³Valeur exacte : 9 × 7 ÷ 3 = 21.

Le volume du cône est 21π cm³, soit environ 66 cm³.21 × π ≈ 65,97.

Exercices

Exercice 1

SABCD est une pyramide à base carrée ABCD. Donne son nombre de faces, d'arêtes et de sommets, puis nomme ses faces latérales et ses arêtes latérales.

Exercice 2

Combien un tétraèdre a-t-il de faces, d'arêtes et de sommets ?

Exercice 3

Calcule le volume d'une pyramide de hauteur 8 cm dont la base est un rectangle de 5 cm sur 3 cm.

Exercice 4

Calcule le volume d'un cône de rayon 4 cm et de hauteur 9 cm (valeur exacte, puis arrondie au dixième).

Exercice 5

Quel est l'angle du secteur dans le patron d'un cône de rayon 3 cm et de génératrice 9 cm ?

Exercice 6

Une pyramide a un volume de 50 cm³ et une base d'aire 15 cm². Quelle est sa hauteur ?

Exercice 7

La pyramide du Louvre est une pyramide régulière à base carrée d'environ 35 m de côté et 21,6 m de hauteur. Calcule son volume.

Exercice 8

Un pavé droit a un sommet en O, l'origine d'un repère de l'espace ; ses arêtes issues de O mesurent 4 sur (Ox), 3 sur (Oy) et 2 sur (Oz). Donne les coordonnées du sommet opposé à O, puis celles du centre du pavé.

history_edu Un peu d'histoire

Vers 2560 avant J.-C., les Égyptiens achèvent la pyramide de Khéops à Gizeh : une pyramide régulière à base carrée d'environ 230 m de côté et, à l'origine, d'environ 146 m de haut. Elle est restée pendant près de 4 000 ans la plus haute construction humaine ! Le papyrus de Moscou (vers 1850 avant J.-C.) montre déjà comment calculer le volume d'une pyramide tronquée. Chez les Grecs, Démocrite affirme que le volume d'une pyramide est le tiers de celui du prisme de même base et de même hauteur, et Eudoxe de Cnide le démontre au 4e siècle avant J.-C. ; Archimède en tirera plus tard les relations entre le cône, le cylindre et la sphère, dont il était si fier qu'il fit graver sa figure sur sa tombe. Plus près de nous, la pyramide du Louvre, construite en 1989 par l'architecte Ieoh Ming Pei, est une pyramide régulière à base carrée faite de verre et d'acier. Quant aux coordonnées dans l'espace, elles prolongent l'idée de Descartes (1637) ; ce sont elles qu'utilisent les GPS, les jeux vidéo en 3D et les imprimantes 3D pour placer chaque point.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz