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Cosinus

Géométrie Cours de mathématiques de 4e (quatrième) · chapitre 12 · Le vocabulaire du triangle rectangle · Le cosinus d'un angle aigu · Calculer avec le cosinus

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Le vocabulaire du triangle rectangle

Définition

Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à un angle aigu est le côté qui relie le sommet de cet angle au sommet de l'angle droit.

DEF est rectangle en E : l'angle droit est $\hat{D E F}$ .
Ses deux angles aigus sont $\hat{E D F}$ et $\hat{D F E}$ .
Le côté adjacent à $\hat{E D F}$ est [DE] ; le côté adjacent à $\hat{D F E}$ est [FE].
L'hypoténuse est [DF].

▬ hypoténuse ▬ côté adjacent à l'angle marqué

Remarques : le côté adjacent à un angle aigu n'est jamais l'hypoténuse. Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires : la somme de leurs mesures vaut 90°. Si l'on connaît l'un, on trouve l'autre par une soustraction : dans DEF, si

\hat{E D F} = 37 °

, alors

\hat{D F E} = 90 ° - 37 ° = 53 °

Le cosinus d'un angle aigu

Définition

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse :

\cos (angle) = \frac{c \hat{o} t \overset{ˊ}{e} adjacent}{hypot \overset{ˊ}{e} nuse}

Exemples, dans le triangle DEF rectangle en E :

\cos \hat{E D F} = \frac{c \hat{o} t \overset{ˊ}{e} adjacent \overset{ˋ}{a} \hat{E D F}}{hypot \overset{ˊ}{e} nuse}

\cos \hat{E D F} = \frac{D E}{D F}

\cos \hat{D F E} = \frac{c \hat{o} t \overset{ˊ}{e} adjacent \overset{ˋ}{a} \hat{D F E}}{hypot \overset{ˊ}{e} nuse}

\cos \hat{D F E} = \frac{F E}{D F}

Remarques : l'hypoténuse est le plus grand côté du triangle rectangle, donc le cosinus d'un angle aigu est toujours un nombre compris entre 0 et 1. Il ne dépend que de l'angle, pas de la taille du triangle (voir l'onglet Méthode) : c'est pourquoi la calculatrice peut le donner directement (touche cos, en mode degrés).

Calculer avec le cosinus

Calculer la longueur du côté adjacent

Exemple : ABC est un triangle rectangle en B tel que AC = 8 cm et $\hat{B A C} = 35 °$ . Calculer AB, au dixième près.

Le triangle ABC est rectangle en B.On cite l'hypothèse.

\cos \hat{B A C} = \frac{A B}{A C}

On écrit le cosinus de l'angle connu : la longueur cherchée doit apparaître.

\cos 35 ° = \frac{A B}{8}

On remplace par les valeurs connues.

A B = 8 \times \cos 35 °

Produit en croix (cos 35° = cos 35°/1).

AB ≈ 6,6 cmCalculatrice en degrés : 8 × cos(35) ≈ 6,553.

Calculer la longueur de l'hypoténuse

Exemple : MNP est un triangle rectangle en N tel que MN = 4,5 cm et $\hat{N M P} = 40 °$ . Calculer MP, au dixième près.

Le triangle MNP est rectangle en N.

\cos \hat{N M P} = \frac{M N}{M P}

On écrit le cosinus de l'angle connu.

\cos 40 ° = \frac{4, 5}{M P}

M P = \frac{4, 5}{\cos 40 °}

Produit en croix : MP × cos 40° = 4,5.

MP ≈ 5,9 cmCalculatrice : 4,5 ÷ cos(40) ≈ 5,874.

Calculer la mesure d'un angle

Exemple : RST est un triangle rectangle en S tel que RT = 10 cm et RS = 7 cm. Calculer la mesure de l'angle $\hat{S R T}$ , au degré près.

Le triangle RST est rectangle en S.

\cos \hat{S R T} = \frac{R S}{R T}

On écrit le cosinus de l'angle cherché et on remplace.

\cos \hat{S R T} = \frac{7}{10}

\hat{S R T} \approx 46 °

Calculatrice : Arccos(7 ÷ 10), ou cos⁻¹(0,7), donne 45,57…

À la calculatrice : vérifiez qu'elle est en mode degrés (D ou DEG). Pour retrouver un angle à partir de son cosinus, on utilise la touche Arccos (ou cos⁻¹, souvent avec la touche « seconde » ou « shift »).

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : repérer l'hypoténuse et le côté adjacent, pas à pas

Voici un triangle ABC rectangle en B : on repère d'abord l'angle droit.

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : c'est [AC], le plus grand côté.

On s'intéresse à l'angle aigu BAC, de sommet A.

Le côté adjacent à BAC relie son sommet A au sommet B de l'angle droit : c'est [AB]. ([BC] n'est pas adjacent à cet angle : il ne passe pas par A.)

On peut écrire le cosinus : cos BAC = côté adjacent ÷ hypoténuse = AB ÷ AC.

Méthode 2 : le cosinus ne dépend que de l'angle

Méthode 3 : calculer une longueur ou un angle avec le cosinus

Le triangle ABC est rectangle en B.On cite l'hypothèse : [AC] est l'hypoténuse, [AB] le côté adjacent à l'angle BAC.

\cos \hat{B A C} = \frac{A B}{A C}

On écrit le cosinus de l'angle connu.

\cos 35 ° = \frac{A B}{8}

On remplace par les valeurs connues.

A B = 8 \times \cos 35 °

Produit en croix.

AB ≈ 6,6 cmCalculatrice en degrés : 8 × cos(35) ≈ 6,553.

Méthode 4 : un problème, pas à pas

On note E le haut de l'échelle, P son pied et M le pied du mur : EP = 4 m et PM = 1,2 m.

Le mur est vertical et le sol horizontal : le triangle EMP est rectangle en M. Son hypoténuse est l'échelle [EP].

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer la mesure d'un angle »

Une rampe d'accès GHI, rectangle en H, mesure GI = 5 m ; sa longueur au sol est GH = 4,8 m. Calculer l'angle $\hat{H G I}$ qu'elle fait avec le sol, au degré près.

Le triangle GHI est rectangle en H.On cite l'hypothèse.

\cos \hat{H G I} = \frac{G H}{G I}

[GH] est le côté adjacent à l'angle, [GI] l'hypoténuse.

\cos \hat{H G I} = \frac{4, 8}{5} = 0, 96

On remplace par les longueurs.

\hat{H G I} \approx 16 °

Arccos(0,96) ≈ 16,26 : on arrondit au degré.

Exercices

Exercice 1

KLM est un triangle rectangle en L. Nomme son hypoténuse, le côté adjacent à l'angle

\hat{L K M}

et le côté adjacent à l'angle

\hat{L M K}

Exercice 2

Dans un triangle rectangle, un angle aigu mesure 34°. Combien mesure l'autre angle aigu ? Même question avec 71,5°.

Exercice 3

GHI est rectangle en I. Écris

\cos \hat{I G H}

\cos \hat{G H I}

en fonction des longueurs des côtés.

Exercice 4

ABC est rectangle en C, avec AB = 12 cm et

\hat{B A C} = 60 °

. Calcule AC.

Exercice 5

DEF est rectangle en D, avec DE = 3 cm et

\hat{D E F} = 72 °

. Calcule EF, au dixième près.

Exercice 6

PQR est rectangle en Q, avec PQ = 5 cm et PR = 13 cm. Calcule l'angle

\hat{Q P R}

, au degré près.

Exercice 7

Une échelle de 4 m est appuyée contre un mur ; son pied est à 1,2 m du mur. Pour être stable, elle doit faire avec le sol un angle compris entre 65° et 75°. Est-ce le cas ?

Exercice 8

a) Le cosinus d'un angle aigu peut-il valoir 1,2 ? b) Tom tape « cos 50 » et obtient 0,964 966… au lieu de 0,642 787… Que s'est-il passé ?

history_edu Un peu d'histoire

La trigonométrie (« mesure des triangles ») est née de l'astronomie. Au 2e siècle avant J.-C., le Grec Hipparque dresse la première table de « cordes » pour calculer la position des astres ; Ptolémée la perfectionne dans son Almageste. En Inde, vers 500, Aryabhata utilise la « demi-corde », jya. Les savants arabes la transcrivent jiba, un mot qui, écrit sans voyelles, a été lu jaib (« pli, poche ») : au 12e siècle, il est traduit en latin par sinus, qui veut dire la même chose ! Le cosinus vient du latin complementi sinus, « le sinus du complément » : le cosinus d'un angle est le sinus de l'angle complémentaire (celui qui fait 90° avec lui). Le mot est utilisé en 1620 par l'Anglais Edmund Gunter. Au 18e siècle, la famille Cassini a réalisé la première carte précise de la France en couvrant le pays d'un immense réseau de triangles, mesurés avec ces calculs : la « triangulation ». Les GPS utilisent encore aujourd'hui des calculs de ce type.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz