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Calcul littéral

Nombres et calculs Cours de mathématiques de 4e (quatrième) · chapitre 11 · Les expressions littérales · La distributivité simple · Simplifier une expression

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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Les expressions littérales

Définition

Une expression littérale est une expression qui contient une ou plusieurs lettres. Ces lettres désignent des nombres.

Exemples :

Le périmètre d'un rectangle de longueur L et de largeur ℓ s'exprime par $P = 2 \times (L + ℓ)$ : on dit qu'il s'exprime en fonction de L et ℓ.
Le double du nombre entier qui précède l'entier n s'écrit $2 \times (n - 1)$ .

Carré et cube

a désigne un nombre :

a \times a = a^{2}

se lit « a au carré », et

a \times a \times a = a^{3}

se lit « a au cube ».

L'aire d'un carré de côté t est $A = t \times t = t^{2}$ ; le volume d'un cube d'arête k est $V = k \times k \times k = k^{3}$ .

Conventions d'écriture : on peut supprimer le signe × devant une lettre ou une parenthèse :

3 \times x = 3 x

a \times b = a b

5 \times (x + 2) = 5 (x + 2)

. Pour calculer la valeur d'une expression, on remplace la lettre par un nombre : on note

A = 3 x^{2} - 5

; pour x = 4,

A = 3 \times 4^{2} - 5 = 43

La distributivité simple

Développer

Définition

Développer une expression, c'est l'écrire sous la forme d'une somme (algébrique).

Propriétés

Pour tous nombres relatifs k, a et b :

k \times (a + b) = k \times a + k \times b

k \times (a - b) = k \times a - k \times b

Exemple 1 : deux façons de calculer $4 \times (10 + 3)$ et $- 5 \times (6 - 9)$ .

A = 4 \times (10 + 3)

On calcule d'abord la parenthèse…

A = 4 \times 13

A = 52

A = 4 \times 10 + 4 \times 3

… ou on « distribue » le 4 : même résultat.

A = 40 + 12

A = 52

B = - 5 \times (6 - 9)

B = - 5 \times (- 3)

B = 15

B = - 5 \times 6 - (- 5) \times 9

B = - 30 + 45

B = 15

C = 7 \times 102

Calcul mental : la distributivité est très utile.

C = 7 \times 100 + 7 \times 2

C = 714

Exemple 2 : développer $A = 5 (x + 4)$ , $B = - 2, 5 (y - 6)$ et $C = 4 t (3 - t)$ .

A = 5 \times x + 5 \times 4

On distribue 5 à chaque terme de la parenthèse.

A = 5 x + 20

B = (- 2, 5) \times y - (- 2, 5) \times 6

Attention au signe : − (−2,5) × 6 = + 15.

B = - 2, 5 y + 15

C = 4 t \times 3 - 4 t \times t

t × t = t².

C = 12 t - 4 t^{2}

Factoriser

Définition

Factoriser une expression, c'est l'écrire sous la forme d'un produit.

Propriétés

Pour tous nombres relatifs k, a et b :

k \times a + k \times b = k \times (a + b)

k \times a - k \times b = k \times (a - b)

Exemples : factoriser $D = 18 x + 12$ et $E = 10 a^{2} - 15 a$ .

D = 6 \times 3 x + 6 \times 2

On fait apparaître un facteur commun : 6 divise 18 et 12.

D = 6 (3 x + 2)

On le met en facteur.

E = 5 a \times 2 a - 5 a \times 3

Le facteur commun est 5a : 10a² = 5a × 2a et 15a = 5a × 3.

E = 5 a (2 a - 3)

F = 37 \times 13 + 37 \times 87

Calcul mental : on factorise par 37.

F = 37 \times (13 + 87)

F = 3 700

$6 (3 x + 2)$
forme factorisée (un produit)

développer →

← factoriser

$18 x + 12$
forme développée (une somme)

Simplifier une expression

Réduire

Définition

Réduire une expression littérale, c'est l'écrire sous la forme d'une somme comportant le moins de termes possible.

Exemples : réduire $F = 6 x + 9 - 4 x + 1$ et $G = 4 x^{2} - 3 x + 7 + x^{2} + 5 x - 9$ .

F = 6 x - 4 x + 9 + 1

On regroupe les termes de même nature.

F = (6 - 4) x + 10

On factorise par x, puis on calcule.

F = 2 x + 10

G = 4 x^{2} + x^{2} - 3 x + 5 x + 7 - 9

On regroupe les termes en x², en x, puis les nombres.

G = (4 + 1) x^{2} + (- 3 + 5) x - 2 = 5 x^{2} + 2 x - 2

On réduit chaque groupe.

Attention : on ne peut pas réduire

2 x^{2} + 3 x

5 x + 4

: ce sont des termes de natures différentes (comme on n'additionne pas des cm² et des cm). Mais

3 x \times 2 x = 6 x^{2}

: dans un produit, on multiplie les nombres entre eux et les lettres entre elles.

Supprimer des parenthèses

Propriété

L'opposé d'une somme algébrique est égal à la somme des opposés de chacun de ses termes : on peut supprimer des parenthèses précédées d'un signe « − » en changeant le signe de chaque terme qu'elles contiennent. Précédées d'un signe « + », on les supprime sans rien changer.

Exemple : supprimer les parenthèses et réduire $H = 5 x - (3 x^{2} - 4 x + 1)$ .

H = 5 x + (- 3 x^{2}) + (+ 4 x) + (- 1)

On additionne les opposés des termes de la parenthèse.

H = 5 x - 3 x^{2} + 4 x - 1

On simplifie l'écriture.

H = - 3 x^{2} + 9 x - 1

On réduit.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : développer avec les flèches

×( )

(- 2, 5)

\times (

y

- 6

)

A = (- 2, 5) (y - 6)

On nomme l'expression à développer.

A = (- 2, 5) \times y + (- 2, 5) \times (- 6)

On multiplie k par chaque terme de la parenthèse (règle des signes !).

A = - 2, 5 y + 15

On calcule chaque produit.

Vérification pour y = 2 : −2,5 × (−4) = 10 et 10 : c'est bien égal.Tester avec un nombre permet de repérer une erreur (mais ne prouve rien).

Méthode 2 : factoriser en trouvant le facteur commun

6 y = 3 y \times 2 15 y^{2} = 3 y \times 5 y

Le plus grand facteur commun est 3 × y : 3 divise 6 et 15, et y apparaît dans les deux termes.

A = - 6 y + 15 y^{2}

On nomme l'expression à factoriser.

A = 3 y \times (- 2) + 3 y \times 5 y

On fait apparaître le facteur commun dans chaque terme.

A = 3 y (- 2 + 5 y)

On le met en facteur.

Vérification : en développant

3 y (- 2 + 5 y)

, on retrouve

- 6 y + 15 y^{2}

Méthode 3 : réduire en regroupant les termes

+ 4x²

− 3x

+ 7

+ x²

+ 5x

− 9

A = 4 x^{2} - 3 x + 7 + x^{2} + 5 x - 9

L'expression de départ, nommée A.

Méthode 4 : développer et réduire, pas à pas

E = 4 (x + 3) - 2 (3 x - 1)

On veut développer et réduire E. Il y a deux produits à développer.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Développer et réduire une expression »

A = 3 (2 x - 5) - 4 (x - 1)

On veut développer et réduire A.

A = 3 \times 2 x - 3 \times 5 - (4 \times x - 4 \times 1)

On développe chaque produit (le « − » reste devant).

A = 6 x - 15 - (4 x - 4)

On calcule les produits.

A = 6 x - 15 - 4 x + 4

On supprime la parenthèse précédée de « − » : on change les signes.

A = 2 x - 11

On réduit : 6x − 4x = 2x et −15 + 4 = −11.

Exercices

Exercice 1

Écris le plus simplement possible :

5 \times a

;

x \times x

;

3 \times y \times y \times y

;

2 \times (x + 1)

;

a \times 4 \times b

Exercice 2

Calcule pour x = −2 :

A = 3 x^{2} - 5 x + 1

B = 4 - 2 x^{3}

Exercice 3

Développe :

6 (x + 4)

;

- 3 (2 y - 7)

;

5 a (a - 2)

;

- x (4 - x)

Exercice 4

Factorise :

9 x + 27

;

14 a - 21

;

x^{2} + 5 x

;

12 y^{2} - 8 y

Exercice 5

Réduis :

7 x - 3 + 2 x + 10

;

3 a^{2} + 5 a - a^{2} - 8 a

;

4 - y + 6 y - 9

Exercice 6

Supprime les parenthèses et réduis :

8 - (x - 3)

;

2 x + (5 - 3 x)

;

y^{2} - (4 y^{2} - y + 2)

Exercice 7

Développe et réduis :

E = 4 (x + 3) - 2 (3 x - 1)

F = x (x + 2) - 3 (x^{2} - x)

Exercice 8

Programme de calcul : « Choisir un nombre. Lui ajouter 3. Multiplier le résultat par 4. Soustraire 12. » Léna affirme qu'on obtient toujours le quadruple du nombre de départ. A-t-elle raison ?

history_edu Un peu d'histoire

Pendant des siècles, les calculs « avec des inconnues » s'écrivaient entièrement en phrases ! Au 3e siècle, Diophante d'Alexandrie commence à utiliser des abréviations. Les signes + et − apparaissent pour la première fois dans un livre imprimé en 1489, écrit par l'Allemand Johannes Widmann ; le signe = est inventé en 1557 par le Gallois Robert Recorde « pour éviter de répéter sans cesse les mots est égal à ». La grande révolution vient du Français François Viète qui, en 1591, désigne les nombres par des lettres : des voyelles pour les inconnues, des consonnes pour les nombres connus. René Descartes simplifie en 1637 : les dernières lettres de l'alphabet (x, y, z) pour les inconnues, les premières (a, b, c) pour les nombres connus, comme on le fait toujours. Quant au mot « distributivité », il n'a été inventé qu'en 1814, par le mathématicien français François-Joseph Servois… bien après que tout le monde l'utilise !

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz