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Probabilités

Données et probabilités Cours de mathématiques de 4e (quatrième) · chapitre 10 · Le vocabulaire des probabilités · Calculer des probabilités · Des fréquences aux probabilités

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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Le vocabulaire des probabilités

Expérience aléatoire et issues

Définitions

Une expérience aléatoire est une expérience qui dépend du hasard : on connaît tous les résultats possibles, mais on ne sait pas à l'avance lequel va se produire.
Chaque résultat possible est une issue.

Exemple : une urne contient 10 boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 10. On en tire une au hasard et on lit son numéro.

C'est une expérience aléatoire qui a 10 issues : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10.

Les évènements

Définitions

Un évènement est un ensemble d'une ou de plusieurs issues.
Un évènement formé d'une seule issue est un évènement élémentaire.
Un évènement toujours réalisé est un évènement certain ; un évènement jamais réalisé est un évènement impossible.
L'évènement contraire d'un évènement A, noté $\overline{A}$ , est formé de toutes les issues qui ne sont pas dans A.

Exemples, avec l'urne :

A : « obtenir un nombre pair » est un évènement : A = {2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10}.
B : « obtenir 7 » est un évènement élémentaire.
C : « obtenir un nombre inférieur ou égal à 10 » est un évènement certain.
D : « obtenir 12 » est un évènement impossible.
$\overline{A}$ : « obtenir un nombre impair » est l'évènement contraire de A : $\overline{A}$ = {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9}.

Calculer des probabilités

La probabilité d'un évènement

Définition

La probabilité d'un évènement A, notée P(A), est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure ses « chances » de se réaliser.

Propriétés

La probabilité d'un évènement impossible est 0 ; celle d'un évènement certain est 1.
La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire est égale à 1.

Avec l'urne : P(C) = 1, P(D) = 0, et P(« 1 ») + P(« 2 ») + … + P(« 10 ») = 1.

Quand toutes les issues ont les mêmes chances

Définition

Quand les issues d'une expérience aléatoire ont toutes les mêmes chances de se réaliser, on dit qu'elles sont équiprobables.

Propriété

Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un évènement E est :

P (E) = \frac{nombre d’issues favorables \overset{ˋ}{a} E}{nombre total d’issues}

Exemples, avec l'urne (les boules sont indiscernables : les 10 issues sont équiprobables) :

B : « obtenir 7 ». Une issue favorable sur 10 :

P (B) = \frac{1}{10}

.Chaque issue a la probabilité 1/10.

E : « obtenir un multiple de 3 ». E = {3 ; 6 ; 9} :

P (E) = \frac{3}{10}

.3 issues favorables sur 10.

A : « obtenir un nombre pair ».

P (A) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}

Attention : la formule ne vaut que si les issues sont équiprobables. Dans un sac de 3 boules rouges, 5 bleues et 2 vertes, les trois couleurs ne sont pas équiprobables : on compte les boules, et P(« rouge ») =

\frac{3}{10}

. Une probabilité s'écrit souvent sous forme de fraction, mais aussi en décimal (0,3) ou en pourcentage (30 %).

La probabilité d'un évènement contraire

Propriété

La somme des probabilités d'un évènement A et de son contraire

\overline{A}

est égale à 1 :

P (A) + P (\overline{A}) = 1

donc

P (\overline{A}) = 1 - P (A)

Exemple : F : « obtenir un nombre supérieur ou égal à 3 ».

\overline{F}

: « obtenir 1 ou 2 », donc

P (\overline{F}) = \frac{2}{10}

.Le contraire de F n'a que 2 issues : il est plus facile à compter.

P (F) = 1 - \frac{2}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}

.On retrouve bien les 8 issues favorables de F (3, 4, …, 10).

Remarque : il est souvent plus rapide de calculer la probabilité du contraire, puis d'utiliser

P (A) = 1 - P (\overline{A})

Des fréquences aux probabilités

Propriété

Quand on répète un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d'un évènement E finit par se stabiliser autour de sa probabilité P(E).

Exemple : avec l'urne, on a répété le tirage (en remettant la boule à chaque fois) et relevé la fréquence de l'évènement E : « obtenir un multiple de 3 », de probabilité 0,3.

Nombre de tirages	10	50	200	1 000	10 000
Fréquence de E	0,5	0,24	0,335	0,288	0,302 1

Sur peu de tirages, la fréquence varie beaucoup ; plus le nombre de tirages augmente, plus elle se rapproche de 0,3.

Remarques : quand on ne peut pas calculer une probabilité (une punaise qui tombe sur la pointe, par exemple), on l'estime par la fréquence observée sur un grand nombre d'essais. Un tableur ou un programme permet de simuler des milliers d'expériences en quelques secondes (voir l'onglet Méthode).

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : un évènement, son contraire, leurs probabilités

A : « obtenir un nombre pair » ; A = {2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10}L'évènement est formé de 5 issues.

Les 10 issues sont équiprobables :

P (A) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}

.5 issues favorables sur 10.

\overline{A}

: « obtenir un nombre impair » ;

P (\overline{A}) = 1 - P (A) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}

.Les issues en orange : toutes celles qui ne sont pas dans A.

Méthode 2 : rédiger un calcul de probabilité, pas à pas

Expérience : on tire une carte au hasard parmi 32.

Les cartes sont tirées au hasard : les 32 issues sont équiprobables, on peut utiliser la formule.

Méthode 3 : des fréquences qui se stabilisent (simulation)

Probabilité de tirer une boule rouge : 3 sur 10, soit 0,3.
Lancez des tirages !

Méthode 4 : une roue dont les issues ne sont pas équiprobables

Couleur	Probabilité	Effectif	Fréquence (0 tour)
rouge	180° : $\frac{180}{360} = \frac{1}{2}$	0	–
bleu	120° : $\frac{120}{360} = \frac{1}{3}$	0	–
vert	60° : $\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$	0	–

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer la probabilité d'un évènement contraire »

Un sac contient 4 boules rouges, 7 bleues et 9 vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de ne pas tirer une boule verte ?

Il y a 4 + 7 + 9 = 20 boules, qui ont toutes la même chance d'être tirées.On justifie l'équiprobabilité des 20 issues.

Soit V : « tirer une boule verte ».

P (V) = \frac{9}{20}

9 issues favorables sur 20.

« Ne pas tirer une boule verte » est l'évènement contraire

\overline{V}

.On reconnaît un évènement contraire.

P (\overline{V}) = 1 - P (V) = 1 - \frac{9}{20} = \frac{11}{20}

On applique la propriété.

La probabilité de ne pas tirer une boule verte est

\frac{11}{20}

, soit 0,55.On conclut par une phrase.

Exercices

Exercice 1

On fait tourner une roue partagée en 8 secteurs égaux numérotés de 1 à 8. Donne : a) les issues ; b) un évènement élémentaire ; c) un évènement certain ; d) un évènement impossible ; e) le contraire de « obtenir un nombre pair ».

Exercice 2

On lance un dé équilibré à 6 faces. Calcule la probabilité de : a) obtenir 5 ; b) obtenir un nombre premier ; c) obtenir au moins 5.

Exercice 3

Un sac contient 5 jetons jaunes, 3 noirs et 12 blancs. On tire un jeton au hasard. Calcule la probabilité de chaque couleur, puis vérifie que leur somme vaut 1.

Exercice 4

Vrai ou faux ? a) « La probabilité d'un évènement peut valoir 1,2. » b) « Si P(A) = 0,3, alors

P (\overline{A}) = 0, 7

. » c) « J'ai obtenu pile 5 fois de suite : au prochain lancer, face a plus de chances de sortir. »

Exercice 5

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Calcule la probabilité de tirer : a) un as ; b) une carte rouge (cœur ou carreau) ; c) une carte qui n'est ni un as ni un roi.

Exercice 6

Une roue est partagée en trois secteurs : un jaune de 90°, un rouge de 150° et un bleu de 120°. Calcule la probabilité de chaque couleur.

Exercice 7

Léo lance 500 fois une punaise : elle tombe 180 fois sur la pointe. Estime la probabilité qu'elle tombe sur la pointe. Les deux issues sont-elles équiprobables ?

Exercice 8

Une urne contient des boules rouges et des boules bleues. La probabilité de tirer une rouge est

\frac{3}{8}

, et il y a 15 boules rouges. Combien y a-t-il de boules bleues ?

history_edu Un peu d'histoire

En 1713 paraît Ars conjectandi (« l'art de conjecturer ») du Suisse Jacques Bernoulli : il y démontre la loi des grands nombres, c'est-à-dire le résultat du paragraphe 3 de ce chapitre, sur lequel il avait travaillé pendant vingt ans. Beaucoup ont voulu le vérifier à la main : le naturaliste français Buffon lance une pièce 4 040 fois et obtient 2 048 fois pile (une fréquence d'environ 0,507), et au début du 20e siècle, le statisticien anglais Karl Pearson la lance 24 000 fois pour obtenir 12 012 fois pile (0,500 5) ! En 1812, Pierre-Simon de Laplace écrit la définition « nombre de cas favorables divisé par nombre de cas possibles » que tu utilises. Enfin, dans les années 1940, les mathématiciens Stanislaw Ulam et John von Neumann utilisent les premiers ordinateurs pour simuler des millions d'expériences aléatoires : c'est la « méthode de Monte-Carlo », du nom du célèbre casino, encore utilisée aujourd'hui pour les prévisions météo ou en physique.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz