Homothétie

menu_book Le cours

• La figure ℱ₂ est un agrandissement de rapport 3 de la figure ℱ₁. On dit que ℱ₂ est l'image de ℱ₁ par l'homothétie de centre O et de rapport 3 : chaque point M de ℱ₁ a pour image le point M′ de la demi-droite [OM) trois fois plus loin de O (OM′ = 3 × OM).
• Inversement, ℱ₁ est une réduction de rapport ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ de ℱ₂ : c'est son image par l'homothétie de centre O et de rapport ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Exemples :

Démonstration :

• Les points O, A, A′ d'une part, et O, B, B′ d'autre part, sont alignés dans le même ordre, et ${\displaystyle \frac{O{A}^{\mathrm{\prime }}}{OA}}={\displaystyle \frac{O{B}^{\mathrm{\prime }}}{OB}}=k$. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (A′B′) sont parallèles.
• On peut donc appliquer le théorème de Thalès dans les triangles OAB et OA′B′ : ${\displaystyle \frac{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}{AB}}={\displaystyle \frac{O{A}^{\mathrm{\prime }}}{OA}}=k$, donc A′B′ = k × AB.

Exemple : le quadrilatère A′B′C′D′ est l'image de ABCD par l'homothétie de centre O et de rapport 2,5.

• Les points B, K, A sont alignés, donc leurs images B′, K′, A′ sont aussi alignées.
• J est le milieu du segment [BC], donc son image J′ est le milieu du segment [B′C′].
• L'angle $\widehat{A^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}}$ est l'image de l'angle $\widehat{ADC}$ : ils ont la même mesure.
• Les longueurs sont multipliées par 2,5 : par exemple, C′D′ = 2,5 × CD.
• Les aires sont multipliées par $2,5^2=6,25$ : l'aire de A′B′C′D′ est 6,25 fois celle de ABCD.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

edit Exercices et rédaction

history_edu Un peu d'histoire