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Calcul littéral

Nombres et calculs Cours de mathématiques de 3e (troisième) · chapitre 8 · Simplifier une expression · La simple distributivité · La double distributivité · La différence de deux carrés

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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Simplifier une expression

Réduire une expression littérale

Définition

Réduire une expression littérale, c'est l'écrire sous la forme d'une somme comportant le moins de termes possible.

Exemples :

A = 5 x + 3 - 8 x + 6

A = 5 x - 8 x + 3 + 6

On regroupe les termes de même nature.

A = - 3 x + 9

On calcule : (5 − 8)x = −3x.

B = 4 x^{2} - 3 x + 1 - x^{2} + 7 x - 5

B = 4 x^{2} - x^{2} - 3 x + 7 x + 1 - 5

On regroupe les termes en x², en x, et les nombres.

B = (4 - 1) x^{2} + (- 3 + 7) x - 4

On factorise les termes en x² et en x.

B = 3 x^{2} + 4 x - 4

On simplifie.

Attention :

x^{2}

x

ne sont pas de même nature (

3 x^{2} + 4 x

ne se réduit pas).

Supprimer des parenthèses

Propriété

L'opposé d'une somme algébrique est égal à la somme des opposés de chacun de ses termes : pour supprimer des parenthèses précédées d'un signe « − », on change le signe de chaque terme à l'intérieur.

Exemple : supprimer les parenthèses dans $C = 7 x - (3 x^{2} - 2 x + 5)$ .

C = 7 x + (- 3 x^{2}) + (+ 2 x) + (- 5)

On additionne les opposés.

C = 7 x - 3 x^{2} + 2 x - 5

On simplifie l'écriture.

C = - 3 x^{2} + 9 x - 5

On réduit.

La simple distributivité

Propriétés

Pour tous nombres relatifs k, a et b :

k \times (a + b) = k \times a + k \times b

k \times (a - b) = k \times a - k \times b

Exemples : $5 \times (20 + 3)$ se calcule de deux façons.

$5 \times (20 + 3) = 5 \times 23 = 115$ ou $5 \times (20 + 3) = 5 \times 20 + 5 \times 3 = 100 + 15 = 115$ .
Avec des lettres : $- 4 \times (x - 6) = - 4 \times x - (- 4) \times 6 = - 4 x + 24$ et $3 x (2 x + 5) = 6 x^{2} + 15 x$ .

La double distributivité

Propriété

Pour tous nombres relatifs a, b, c et d :

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

Preuve :

On pose $k = a + b$ et on applique deux fois la simple distributivité :
$(a + b) (c + d) = k \times (c + d) = k \times c + k \times d = (a + b) \times c + (a + b) \times d = a c + b c + a d + b d$
Avec les aires : l'aire du grand rectangle, $(a + b) (c + d)$ , est la somme des aires des quatre petits rectangles.

Exemple 1 : développer et réduire $D = (2 x + 3) (x + 5)$ .

D = 2 x \times x + 2 x \times 5 + 3 \times x + 3 \times 5

On applique la double distributivité (4 produits).

D = 2 x^{2} + 10 x + 3 x + 15

On calcule les produits.

D = 2 x^{2} + 13 x + 15

On réduit.

Exemple 2 : développer et réduire $E = (4 - x) (3 x - 2)$ .

E = 4 \times 3 x + 4 \times (- 2) + (- x) \times 3 x + (- x) \times (- 2)

Attention aux signes : on multiplie des nombres relatifs.

E = 12 x - 8 - 3 x^{2} + 2 x

On calcule les produits.

E = - 3 x^{2} + 14 x - 8

On réduit et on ordonne.

La différence de deux carrés

Propriété

Pour tous nombres relatifs a et b :

pour développer : $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ ;
pour factoriser : $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ .

Preuve : avec la double distributivité, $(a + b) (a - b) = a^{2} - a b + b a - b^{2} = a^{2} - b^{2}$ (les termes $- a b$ et $+ b a$ s'annulent).

Exemple 1 : développer $F = (5 x + 3) (5 x - 3)$ .

F = (5 x + 3) (5 x - 3)

On reconnaît (a + b)(a − b) avec a = 5x et b = 3.

F = (5 x)^{2} - 3^{2}

On remplace dans a² − b².

F = 25 x^{2} - 9

Attention : (5x)² = 5x × 5x = 25x².

Exemple 2 : factoriser $G = 16 x^{2} - 81$ .

G = (4 x)^{2} - 9^{2}

On reconnaît une différence de deux carrés, avec a = 4x et b = 9.

G = (4 x + 9) (4 x - 9)

On remplace dans (a + b)(a − b).

Application au calcul mental :

102 \times 98 = (100 + 2) (100 - 2) = 10 0^{2} - 2^{2} = 10 000 - 4 = 9 996

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : le rectangle de la double distributivité

6342

(6 + 3) (4 + 2) = 9 \times 6 = 54

6 \times 4 + 6 \times 2 + 3 \times 4 + 3 \times 2 = 24 + 12 + 12 + 6 = 54

Méthode 2 : développer (ax + b)(cx + d), étape par étape

(x + )(x + )

E = (3 x - 2) (2 x + 5)

L'expression à développer.

Méthode 3 : voir que a² − b² = (a + b)(a − b)

Un carré de côté a : son aire est a².

Méthode 4 : calcul mental avec la différence de deux carrés

53 \times 47 = (50 + 3) (50 - 3)

53 et 47 sont à égale distance de 50 : on reconnaît (a + b)(a − b) avec a = 50 et b = 3.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Développer et réduire avec la double distributivité »

H = (x - 4) (2 x + 3)

L'expression à développer.

H = x \times 2 x + x \times 3 + (- 4) \times 2 x + (- 4) \times 3

1. Chaque terme du 1er facteur multiplie chaque terme du 2d (4 produits).

H = 2 x^{2} + 3 x - 8 x - 12

2. On calcule les produits (règle des signes).

H = 2 x^{2} - 5 x - 12

3. On réduit : termes en x², en x, nombres.

Exercices

Exercice 1

Réduis :

A = 2 x + 7 - 5 x - 1

;

B = x^{2} + 3 x - 4 x^{2} + x

;

C = 6 - 2 x + x^{2} - 9 + 5 x

Exercice 2

Supprime les parenthèses puis réduis :

D = 4 - (x - 3)

;

E = 2 x + (5 - 3 x)

;

F = - (x^{2} - x) + 2 x^{2}

Exercice 3

Développe :

G = 3 (2 x - 5)

;

H = - 2 x (x + 4)

;

K = 5 x (3 - x)

Exercice 4

Développe et réduis :

L = (x + 2) (x + 6)

;

M = (3 x - 1) (2 x + 4)

;

N = (5 - 2 x) (x - 3)

Exercice 5

Développe à l'aide de la différence de deux carrés :

P = (x + 7) (x - 7)

;

Q = (2 x - 5) (2 x + 5)

Exercice 6

Factorise :

R = x^{2} - 36

;

S = 9 x^{2} - 1

;

T = 49 - 4 x^{2}

Exercice 7

Calcule mentalement, en utilisant la différence de deux carrés :

51 \times 49

;

1 002 \times 998

Exercice 8

Programme de calcul : « Choisir un nombre. Lui ajouter 3. Multiplier le résultat par le nombre de départ diminué de 3. » Montre que le résultat est toujours égal au carré du nombre de départ diminué de 9.

Exercice 9

Montre que, pour tout nombre n,

(n + 1)^{2} - n^{2} = 2 n + 1

. Utilise-le pour calculer

10 1^{2} - 10 0^{2}

history_edu Un peu d'histoire

Bien avant l'invention des lettres en mathématiques, les Grecs connaissaient déjà nos identités… sous forme de figures ! Dans le livre II de ses Éléments (vers 300 av. J.-C.), Euclide démontre avec des rectangles et des carrés découpés ce que nous écrivons aujourd'hui

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

. Au 9e siècle, à Bagdad, al-Khwârizmî résout ses équations en faisant encore des dessins de carrés et de rectangles ; son livre, Al-jabr, a donné son nom à l'algèbre. Il faut attendre le Français François Viète, en 1591, pour que des lettres désignent systématiquement les nombres inconnus et les nombres donnés : c'est la naissance du calcul littéral tel que nous le pratiquons.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz