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Fonctions linéaires et affines

Données et probabilités Cours de mathématiques de 3e (troisième) · chapitre 14 · La fonction affine · La fonction linéaire · Proportionnalité et pourcentages

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

La fonction affine

Définition

On appelle fonction affine une fonction qui, à tout nombre noté x, associe le nombre

a \times x + b

(c'est-à-dire

x ⟼ a x + b

), où a et b sont deux nombres fixés.

Exemple : la fonction f définie par $f (x) = 2 x - 5$ est une fonction affine (avec $a = 2$ et $b = - 5$ ).

Remarques :

Lorsque a = 0, la fonction est une fonction constante : à tout nombre x, elle associe le nombre b (par exemple $x ⟼ 4$ ).
Lorsque b = 0, la fonction est une fonction linéaire : à tout nombre x, elle associe le nombre ax (par exemple $x ⟼ - 1, 5 x$ ).

Image et antécédent

Propriété

Par une fonction affine non constante, tout nombre admet un unique antécédent.

Exemple : soit f la fonction affine telle que $f (x) = 2 x - 5$ .

Calculer l'image de −3 par f.

f (- 3) = 2 \times (- 3) - 5

On remplace x par −3.

f (- 3) = - 6 - 5 = - 11

L'image de −3 par f est −11.

Calculer l'antécédent de 9 par f.

f (x) = 9

, soit

2 x - 5 = 9

On cherche x qui a pour image 9 : on résout l'équation.

2 x = 14

, donc

x = 7

L'antécédent de 9 par f est 7.

Représentation graphique

Propriété

La représentation graphique d'une fonction affine

f : x ⟼ a x + b

est une droite.

Définitions

Pour la droite représentant

f (x) = a x + b

a s'appelle le coefficient directeur de la droite : c'est l'accroissement de f(x) lorsque x augmente d'une unité ;
b s'appelle l'ordonnée à l'origine : $f (0) = b$ , et la droite passe par le point de coordonnées (0 ; b).

Exemple : représenter graphiquement la fonction affine $f : x ⟼ 2 x - 5$ .

f est une fonction affine : sa représentation graphique est une droite. Pour la tracer, il suffit de connaître deux de ses points : $f (1) = 2 \times 1 - 5 = - 3$ et $f (4) = 2 \times 4 - 5 = 3$ .
On trace la droite (d) qui passe par les points A(1 ; −3) et B(4 ; 3).
Vérification : elle passe bien par le point (0 ; −5), l'ordonnée à l'origine.
Le coefficient directeur 2 est positif : la droite « monte » quand on la regarde de gauche à droite. Quand x augmente de 1, f(x) augmente de 2.

La fonction linéaire

Définition

On appelle fonction linéaire de coefficient a la fonction qui, à tout nombre x, associe le nombre

a \times x

(c'est-à-dire

x ⟼ a x

), où a est un nombre fixé.

Exemples : les fonctions définies par $g (x) = - 1, 5 x$ et $h (x) = 0, 8 x$ sont linéaires.

Remarque : une fonction linéaire est une fonction affine particulière (le cas où b = 0).

Représentation graphique

Propriété

La représentation graphique d'une fonction linéaire

x ⟼ a x

est une droite passant par l'origine du repère.

Exemple : représenter graphiquement la fonction linéaire $g (x) = - 1, 5 x$ .

g est linéaire : sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine O. Il suffit de connaître un autre de ses points : $g (2) = - 1, 5 \times 2 = - 3$ .
On trace la droite (d′) qui passe par O et par le point D(2 ; −3).
Le coefficient directeur −1,5 est négatif : la droite « descend » de gauche à droite.

Proportionnalité et pourcentages

Fonction linéaire et proportionnalité

Propriété

Toute situation de proportionnalité peut être modélisée par une fonction linéaire (son coefficient est le coefficient de proportionnalité).

Exemple 1 : l'aire d'un rectangle de largeur 4 cm est proportionnelle à sa longueur x : elle est modélisée par la fonction linéaire $x ⟼ 4 x$ .

Exemple 2 : à la station-service, l'essence coûte 1,80 € le litre. Le prix payé est proportionnel au nombre de litres : la fonction linéaire $p (x) = 1, 8 x$ traduit cette situation.

$p (20) = 1, 8 \times 20 = 36$ : 20 litres coûtent 36 €. La représentation graphique de p (une droite passant par l'origine) donne le prix en fonction du nombre de litres.

Pourcentages

Propriétés

Pour augmenter un nombre de t %, on le multiplie par $1 + \frac{t}{100}$ .
Pour diminuer un nombre de t %, on le multiplie par $1 - \frac{t}{100}$ .

Preuve : augmenter un nombre N de t %, c'est lui ajouter $\frac{t}{100} \times N$ : $N + \frac{t}{100} \times N = (1 + \frac{t}{100}) \times N$ . De même pour une diminution. C'est une fonction linéaire de N !

Exemples :

Une augmentation de 15 % se traduit par une multiplication par $1 + \frac{15}{100} = 1, 15$ ; une diminution de 30 % par une multiplication par $1 - \frac{30}{100} = 0, 7$ .
Un vélo coûte 240 €. Son prix augmente de 15 % : $240 \times 1, 15 = 276$ . Il coûte désormais 276 €.
Une ville comptait 12 500 habitants ; sa population a diminué de 4 % : $12 500 \times 0, 96 = 12 000$ . Elle compte désormais 12 000 habitants.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : l'effet de a et de b sur la droite

2 −1

f (x) = 2 x - 1

— fonction affine.
a > 0 : la droite monte ; quand x augmente de 1, f(x) augmente de 2.
La droite coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; −1).

Méthode 2 : tracer la droite d'une fonction affine

k est affine : sa représentation graphique est une droite. Il suffit de deux points.

Méthode 3 : retrouver une fonction affine à partir de deux images

f est affine :

f (x) = a x + b

On cherche les deux nombres a et b.

Méthode 4 : augmenter ou diminuer d'un pourcentage

€ %

Coefficient multiplicateur :

1 + \frac{20}{100} = 1, 2

50 \times 1, 2 = 60

: le prix devient 60 €.
Et si ensuite on baisse de 20 % : 60 × 0,8 = 48 € — on ne retrouve pas 50 € (coefficient global 1,2 × 0,8 = 0,96).

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer l'antécédent d'un nombre par une fonction affine »

f (x) = - 3 x + 4

; antécédent de 10 ?La question.

- 3 x + 4 = 10

1. On écrit l'équation f(x) = 10.

- 3 x = 6

, donc

x = - 2

2. On résout.

Vérification : f(−2) = 6 + 4 = 10. L'antécédent de 10 est −2.3. On vérifie et on conclut.

Exercices

Exercice 1

Pour chaque fonction, dis si elle est affine, linéaire, constante ou rien de tout cela :

f (x) = 4 x - 1

;

g (x) = - 7 x

;

h (x) = 5

;

k (x) = x^{2} + 1

;

m (x) = 3 (x + 2)

Exercice 2

Soit

f (x) = - 3 x + 4

. Calcule l'image de 2 et celle de −1, puis l'antécédent de 10.

Exercice 3

g est une fonction linéaire telle que g(5) = 12. Détermine son coefficient, puis calcule l'image de 8.

Exercice 4

h est une fonction affine telle que h(0) = 3 et h(2) = 7. Détermine h(x).

Exercice 5

Voici la droite représentant une fonction affine u. Lis l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur, puis donne u(x).

Exercice 6

Piscine : tarif A, 12 € la séance ; tarif B, un abonnement de 30 € puis 7 € la séance. Exprime le prix de x séances avec chaque tarif, puis trouve à partir de combien de séances le tarif B est le plus avantageux.

Exercice 7

Un jean coûte 50 €. Son prix augmente de 20 %, puis le nouveau prix baisse de 20 %. Retrouve-t-on le prix de départ ?

Exercice 8

Après une réduction de 25 %, un article coûte 36 €. Quel était son prix avant la réduction ?

Exercice 9

Le point E(3 ; 5) appartient-il à la droite représentant

f (x) = 2 x - 1

? Et le point F(−2 ; −4) ?

history_edu Un peu d'histoire

Vers 1636, bien avant qu'on parle de « fonctions », le magistrat toulousain et mathématicien amateur Pierre de Fermat écrit un court traité, l'Introduction aux lieux plans et solides. Il y montre que lorsqu'une équation relie deux quantités inconnues au premier degré (ce que nous écririons aujourd'hui y = ax + b), les points correspondants forment une ligne droite. Au même moment, René Descartes publie sa Géométrie (1637). Ensemble, ils fondent la géométrie analytique, qui permet de traduire une figure en calculs et des calculs en figures : c'est exactement ce que l'on fait quand on trace la droite d'une fonction affine !

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz