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Trigonométrie

Géométrie Cours de mathématiques de 3e (troisième) · chapitre 13 · Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu · Les relations trigonométriques

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu

Définitions

Dans un triangle rectangle :

le sinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l'hypoténuse ;
le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse ;
la tangente d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent à cet angle.

Exemple : le triangle RIZ est rectangle en I.

$\sin \hat{I R Z} = \frac{c \hat{o} t \overset{ˊ}{e} O ppos \overset{ˊ}{e} \overset{ˋ}{a} \hat{I R Z}}{H ypot \overset{ˊ}{e} nuse} = \frac{I Z}{R Z}$
$\cos \hat{I R Z} = \frac{c \hat{o} t \overset{ˊ}{e} A djacent \overset{ˋ}{a} \hat{I R Z}}{H ypot \overset{ˊ}{e} nuse} = \frac{R I}{R Z}$
$\tan \hat{I R Z} = \frac{c \hat{o} t \overset{ˊ}{e} O ppos \overset{ˊ}{e} \overset{ˋ}{a} \hat{I R Z}}{c \hat{o} t \overset{ˊ}{e} A djacent \overset{ˋ}{a} \hat{I R Z}} = \frac{I Z}{R I}$

Remarques :

Pour retenir les formules, on peut utiliser le moyen mnémotechnique SOH – CAH – TOA (Sinus = Opposé / Hypoténuse ; Cosinus = Adjacent / Hypoténuse ; Tangente = Opposé / Adjacent).
Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1 (l'hypoténuse est le plus long côté).
La tangente d'un angle aigu est un nombre strictement positif (elle peut être plus grande que 1).
« Opposé » et « adjacent » dépendent de l'angle choisi : pour l'angle $\hat{I Z R}$ , le côté opposé est [RI] et le côté adjacent est [IZ].

Calculer une longueur ou un angle

Exemple 1 : le triangle ABC est rectangle en B, AC = 7 cm et $\hat{B A C} = 35 °$ . On veut calculer la longueur BC, puis la longueur AB (arrondies au dixième).

Dans le triangle ABC rectangle en B, [AC] est l'hypoténuse ; [BC] est le côté opposé à l'angle

\hat{B A C}

.On cite les données : on connaît l'hypoténuse, on cherche le côté opposé. On utilise le sinus.

\sin \hat{B A C} = \frac{B C}{A C}

, soit

\sin 35 ° = \frac{B C}{7}

La longueur cherchée apparaît dans le rapport.

B C = 7 \times \sin 35 ° \approx 4, 0

cmProduit en croix ; à la calculatrice (en mode degrés) : 7 × sin(35).

Pour calculer AB, deux méthodes sont possibles :

Méthode 1 : le théorème de Pythagore

A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}

Dans le triangle ABC rectangle en B.

A B^{2} = 7^{2} - B C^{2}

On utilise la valeur exacte de BC (7 sin 35°), gardée en mémoire dans la calculatrice.

A B \approx 5, 7

Méthode 2 : le cosinus

\cos \hat{B A C} = \frac{A B}{A C}

[AB] est le côté adjacent à l'angle de 35°.

A B = 7 \times \cos 35 ° \approx 5, 7

cmAB est inférieure à AC : le résultat est cohérent.

Exemple 2 : le triangle DEF est rectangle en E, DE = 4 cm et EF = 6,5 cm. On veut la mesure de l'angle $\hat{E D F}$ , arrondie au degré.

Dans le triangle DEF rectangle en E, [EF] est le côté opposé à

\hat{E D F}

; [DE] est le côté adjacent.On connaît l'opposé et l'adjacent : on utilise la tangente.

\tan \hat{E D F} = \frac{E F}{D E}

On écrit la tangente de l'angle cherché.

\tan \hat{E D F} = \frac{6, 5}{4}

\tan \hat{E D F} = 1, 625

\hat{E D F} \approx 58 °

À la calculatrice : touche « arctan » (ou tan⁻¹) de 1,625, puis on arrondit à l'unité.

Les relations trigonométriques

Propriétés

Pour tout angle aigu

\hat{A}

(\cos \hat{A})^{2} + (\sin \hat{A})^{2} = 1

\tan \hat{A} = \frac{\sin \hat{A}}{\cos \hat{A}}

Pourquoi ? Dans un triangle rectangle d'hypoténuse h, de côté opposé o et de côté adjacent a : $\cos^{2} + \sin^{2} = \frac{a^{2} + o^{2}}{h^{2}} = \frac{h^{2}}{h^{2}} = 1$ (Pythagore), et $\frac{\sin}{} = \frac{o / h}{a / h} = \frac{o}{a} = \tan$ .

Exemple : on sait que $\cos \hat{A} = 0, 28$ . On en déduit $\sin \hat{A}$ puis $\tan \hat{A}$ .

(\sin \hat{A})^{2} = 1 - 0, 2 8^{2}

On utilise cos² + sin² = 1.

(\sin \hat{A})^{2} = 1 - 0, 0784

(\sin \hat{A})^{2} = 0, 9216

\sin \hat{A} = \sqrt{0, 9216}

Le sinus d'un angle aigu est positif.

\sin \hat{A} = 0, 96

\tan \hat{A} = \frac{0, 96}{0, 28}

On utilise tan = sin / cos.

\tan \hat{A} = \frac{24}{7}

\tan \hat{A} \approx 3, 43

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : les rapports ne dépendent que de l'angle

35° 8 cm

\sin \hat{B A C} = \frac{4, 59}{8} \approx 0, 574

\cos \hat{B A C} = \frac{6, 55}{8} \approx 0, 819

\tan \hat{B A C} = \frac{4, 59}{6, 55} \approx 0, 7

Changez l'hypoténuse : les longueurs changent, mais pas les rapports, qui ne dépendent que de l'angle (35°).

Méthode 2 : choisir la bonne formule

On utilise le sinus (SOH) :

\sin \hat{A} = \frac{oppos \overset{ˊ}{e}}{hypot \overset{ˊ}{e} nuse}

Méthode 3 : calculer la mesure d'un angle

Dans le triangle KLM rectangle en L, [KM] est l'hypoténuse et [KL] le côté adjacent à

\hat{L K M}

On connaît l'adjacent et l'hypoténuse : cosinus (CAH).

Méthode 4 : la hauteur d'un arbre inaccessible

Le triangle formé par l'œil de Léa, le point de l'arbre à la même hauteur et le sommet est rectangle.

L'arbre est vertical, la ligne de visée horizontale : angle droit.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer une longueur avec la trigonométrie »

Dans le triangle ABC rectangle en B, [AC] est l'hypoténuse et [BC] le côté opposé à l'angle

\hat{B A C}

.1. On cite le triangle rectangle et on nomme les côtés utiles.

\sin \hat{B A C} = \frac{B C}{A C}

2. On choisit la formule (SOH CAH TOA).

\sin 35 ° = \frac{B C}{7}

3. On remplace par les valeurs connues.

B C = 7 \times \sin 35 ° \approx 4, 0

cm4. Produit en croix, calculatrice en degrés, arrondi demandé.

Exercices

Exercice 1

Le triangle PQR est rectangle en Q. Écris le sinus, le cosinus et la tangente de l'angle

\hat{Q P R}

, puis ceux de l'angle

\hat{Q R P}

Exercice 2

Le triangle STU est rectangle en T, SU = 12 cm et

\hat{T S U} = 25 °

. Calcule ST, arrondie au dixième.

Exercice 3

Le triangle VWX est rectangle en W, VW = 8 cm et

\hat{W V X} = 50 °

. Calcule WX, arrondie au dixième.

Exercice 4

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à un angle de 30° mesure 5 cm. Calcule la longueur de l'hypoténuse.

Exercice 5

Le triangle GHI est rectangle en H, GH = 6 cm et GI = 10 cm. Calcule la mesure de l'angle

\hat{H G I}

, arrondie au degré.

Exercice 6

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à un angle mesure 3 cm et l'hypoténuse 7 cm. Quelle est la mesure de cet angle, arrondie au degré ?

Exercice 7

Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur vertical. Elle fait un angle de 70° avec le sol horizontal. À quelle hauteur touche-t-elle le mur (au centimètre près) ?

Exercice 8

On sait que

\sin \hat{B} = 0, 6

(angle aigu). Calcule

\cos \hat{B}

\tan \hat{B}

Exercice 9

Une rampe d'accès mesure 4 m de long et permet de monter une marche de 35 cm. La réglementation impose une pente d'au plus 5° environ. Cette rampe est-elle conforme ?

history_edu Un peu d'histoire

La trigonométrie (du grec trigônon, triangle, et metron, mesure) est née de l'astronomie. Au 2e siècle avant J.-C., le Grec Hipparque dresse une table de « cordes » pour calculer la position des astres. Les mathématiciens indiens remplacent ensuite la corde par la demi-corde, notre sinus, qu'ils appellent jya. Traduit en arabe par jiba, écrit sans voyelles, le mot a été lu jaib, qui signifie « poche » ou « pli »… et traduit en latin au 12e siècle par sinus, qui veut dire la même chose ! Les savants du monde arabe, comme al-Battani (vers 900), perfectionnent ces calculs et introduisent l'équivalent de la tangente pour étudier les ombres des cadrans solaires.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz