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Géométrie Cours de mathématiques de 3e (troisième) · chapitre 15 · Sphère et boule · Se repérer sur une sphère · Volumes

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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Sphère et boule

Définitions

La sphère de centre O et de rayon r (r > 0) est l'ensemble des points M de l'espace tels que $O M = r$ .
La boule de centre O et de rayon r (r > 0) est l'ensemble des points M de l'espace tels que $O M ⩽ r$ .

Exemple : sur la sphère de centre O ci-contre,

[OP] est un rayon : le point P est sur la sphère, donc $O P = r$ ;
[EF] est un diamètre : c'est un segment qui joint deux points de la sphère en passant par son centre ( $E F = 2 r$ ) ;
le cercle vert est un grand cercle : un cercle tracé sur la sphère, de centre O et de même rayon r que la sphère.

Remarque : la sphère est la « surface » de la boule, comme la peau d'un ballon ; la boule est le solide plein, comme une bille ou une boule de pétanque.

Section d'une sphère par un plan

Propriété

La section d'une sphère de centre O par un plan est un cercle.

Exemple : la sphère de centre O et de rayon 5 cm est coupée par le plan violet, situé à 3 cm du centre (OH = 3 cm). La section est le cercle rose, de centre H et de rayon HN.

La droite (OH) est perpendiculaire au plan : le triangle OHN est rectangle en H.
D'après le théorème de Pythagore : $H N^{2} = O N^{2} - O H^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16$ , donc $H N = 4$ cm.

Remarques :

Lorsque le plan ne passe pas par le centre O, la droite qui joint O au centre H de la section est perpendiculaire au plan.
La section d'une boule par un plan est un disque.
Le rayon de la section est toujours inférieur ou égal au rayon de la sphère.
Lorsque le plan passe par le centre de la sphère, le rayon de la section est égal au rayon de la sphère : la section est un grand cercle.

Se repérer sur une sphère

On assimile la Terre à une sphère. On la quadrille par des parallèles, cercles situés dans des plans parallèles au plan de l'équateur, et par des méridiens, demi-cercles qui joignent le pôle Nord au pôle Sud. Le méridien d'origine est le méridien de Greenwich (qui passe près de Londres).

Définitions

Tout point de la Terre est repéré par ses coordonnées géographiques (latitude ; longitude) :

la latitude d'un point est la mesure de l'angle entre l'équateur et ce point, lue le long de son méridien ; elle est orientée Nord ou Sud ;
la longitude d'un point est la mesure de l'angle entre le méridien de Greenwich et le méridien de ce point ; elle est orientée Est ou Ouest.

Exemple : le point M ci-contre a pour coordonnées (40° N ; 50° E).

Il est situé sur le parallèle à 40° au Nord de l'équateur (arc rouge) ;
et sur le méridien situé à 50° à l'Est du méridien de Greenwich (arc vert).

Remarque : les latitudes sont comprises entre 0° et 90° (Nord ou Sud) ; les longitudes sont comprises entre 0° et 180° (Est ou Ouest).

Volumes

Volume d'une boule

Propriété

Le volume

V

d'une boule de rayon r est donné par la formule :

V = \frac{4}{3} \times π \times r^{3}

Exemple : calculer le volume d'une boule de rayon 6 cm (valeur exacte, puis valeur approchée au dixième).

V = \frac{4}{3} \times π \times 6^{3}

On applique la formule avec r = 6.

V = \frac{4}{3} \times π \times 216 = 288 π

cm³Valeur exacte (216 × 4 ÷ 3 = 288).

V \approx 904, 8

cm³Valeur approchée au dixième.

Agrandissement et réduction

Propriété

Lors d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport k :

les longueurs sont multipliées par k ;
les aires sont multipliées par k² ;
les volumes sont multipliés par k³.

(C'est un agrandissement si k > 1, une réduction si 0 < k < 1.)

Exemple : une boule de rayon 2 cm a pour volume $\frac{4}{3} \times π \times 2^{3} = \frac{32 π}{3}$ cm³. On l'agrandit avec le rapport k = 3 :

les longueurs sont multipliées par 3 : le rayon devient 2 × 3 = 6 cm ;
les aires sont multipliées par $3^{2} = 9$ : l'aire d'un grand cercle passe de $4 π$ à $36 π$ cm² ;
les volumes sont multipliés par $3^{3} = 27$ : $\frac{32 π}{3} \times 27 = 288 π$ cm³. On retrouve bien le volume de la boule de rayon 6 cm !

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : couper une sphère par un plan

6 cm

Triangle OHN rectangle en H :

H N^{2} = O N^{2} - O H^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 64

Le rayon de la section est

H N = \sqrt{64}

= 8 cm.

Méthode 2 : placer un point par sa latitude et sa longitude

40° N 50° E

M : (40° N ; 50° E)
latitude : 40° au Nord de l'équateur ; longitude : 50° à l'Est de Greenwich.

Méthode 3 : calculer le volume d'une boule

Le rayon est la moitié du diamètre :

r = 9 \div 2 = 4, 5

cm.

Attention : la formule utilise le rayon, pas le diamètre !

Méthode 4 : agrandir ou réduire un solide

	cube de départ	coefficient	cube obtenu
arête	2 cm	× $k = 2$	4 cm
aire d'une face	4 cm²	× $k^{2} = 4$	16 cm²
volume	8 cm³	× $k^{3} = 8$	64 cm³

k > 1 : c'est un agrandissement.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer le rayon d'une section de sphère »

Une sphère de centre O et de rayon 7,5 cm est coupée par un plan situé à 4,5 cm de O. La section est un cercle de centre H ; N est un point de ce cercle.

La section est un cercle de centre H et (OH) est perpendiculaire au plan : le triangle OHN est rectangle en H.1. On justifie l'angle droit.

D'après le théorème de Pythagore :

O N^{2} = O H^{2} + H N^{2}

.2. On écrit l'égalité.

7, 5^{2} = 4, 5^{2} + H N^{2}

, donc

H N^{2} = 56, 25 - 20, 25 = 36

3. On remplace et on calcule.

H N = \sqrt{36} = 6

: la section a pour rayon 6 cm.4. On conclut avec l'unité.

Exercices

Exercice 1

On considère la sphère de centre O et de rayon 4 cm. On donne OA = 4 cm, OB = 3 cm et OC = 5 cm. Quels points appartiennent à la sphère ? à la boule de même centre et de même rayon ?

Exercice 2

Une sphère de centre O a pour rayon 17 cm. Elle est coupée par un plan situé à 8 cm de son centre. Calcule le rayon de la section.

Exercice 3

Une sphère de rayon 13 cm est coupée par un plan ; la section obtenue est un cercle de rayon 5 cm. À quelle distance du centre de la sphère se trouve ce plan ?

Exercice 4

Calcule le volume d'une boule de rayon 3 cm. Donne la valeur exacte, puis une valeur arrondie au dixième.

Exercice 5

Un ballon de basket a un diamètre de 22 cm. Calcule son volume, arrondi au cm³, puis en litres (1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³).

Exercice 6

Donne les coordonnées géographiques des points A, B et C placés sur le globe (les parallèles et les méridiens sont tracés tous les 30°).

Exercice 7

Un saladier a la forme d'une demi-boule de rayon intérieur 9 cm. Quelle est sa contenance, arrondie au dixième de litre ?

Exercice 8

Une pyramide de hauteur 15 cm a une base d'aire 81 cm² et un volume de 405 cm³. On la réduit avec le rapport

k = \frac{1}{3}

. Donne la hauteur, l'aire de la base et le volume de la pyramide réduite.

Exercice 9

Le rayon de la Lune est environ 0,27 fois celui de la Terre. Combien de « Lunes » faudrait-il, environ, pour obtenir le volume de la Terre ?

history_edu Un peu d'histoire

Vers 240 avant J.-C., Ératosthène, directeur de la grande bibliothèque d'Alexandrie, apprend qu'à Syène (l'actuelle Assouan), le jour du solstice d'été, le Soleil éclaire à midi le fond des puits : ses rayons y sont verticaux. Le même jour à Alexandrie, plus au nord, un bâton vertical projette une ombre qui fait un angle d'environ 7,2°, soit un cinquantième de tour. La Terre étant une sphère, il en déduit que la distance Syène–Alexandrie (environ 5 000 stades) est le cinquantième de la circonférence terrestre : environ 250 000 stades, soit près de 40 000 km, une valeur remarquablement proche de la réalité ! Quatre siècles plus tard, Ptolémée rédige une Géographie où près de 8 000 lieux sont repérés par leur latitude et leur longitude.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz