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Propriétés des triangles

Géométrie Cours de mathématiques de 6e (sixième) · chapitre 13 · Somme des angles d'un triangle · Cercle circonscrit à un triangle

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Somme des angles d'un triangle

Propriété

La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°, soit un angle plat.

Exemple :

Dans le triangle ABC : $\hat{B A C} + \hat{A B C} + \hat{A C B} = 180 °$ .

Pourquoi cette propriété est-elle vraie ?

On trace la droite (d), parallèle à (AB), passant par C.

Comme (d) est parallèle à (AB), les trois angles marqués en C (rouge, jaune, bleu) se superposent exactement aux angles $\hat{B A C}$ (rouge), $\hat{A C B}$ (jaune) et $\hat{A B C}$ (bleu) du triangle. Or ces trois angles, mis bout à bout en C, reconstituent un angle plat : ils mesurent donc en tout 180°.

Exemple : angle manquant

Dans le triangle HJK, $\hat{J H K} = 48 °$ et $\hat{H J K} = 63 °$ . Quelle est la mesure de l'angle $\hat{H K J}$ ?

La somme des mesures des angles du triangle HJK est égale à 180°, donc :

\hat{J H K} + \hat{H J K} + \hat{H K J} = 180 °

48 ° + 63 ° + \hat{H K J} = 180 °

111 ° + \hat{H K J} = 180 °

\hat{H K J} = 180 ° - 111 ° = 69 °

Cercle circonscrit à un triangle

Propriété

Dans un triangle, les médiatrices des trois côtés sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle. (Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par ses trois sommets.)

Exemple :

Les médiatrices des trois côtés de RST (en pointillés) se coupent au point O : c'est le centre du cercle circonscrit au triangle RST. On a $O R = O S = O T$ : ce sont trois rayons du même cercle.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Construire le cercle circonscrit à un triangle, à la règle et au compas

On construit les médiatrices de deux côtés du triangle ABC : leur point d'intersection O est le centre du cercle circonscrit.

Clique sur « Étape suivante » pour commencer.

Piquer en A avec un écartement supérieur à la moitié de [AB] : tracer un arc de chaque côté de [AB].

Piquer en B avec le même écartement : tracer deux arcs qui recoupent les précédents.

Tracer, à la règle, la médiatrice de [AB] (droite passant par les deux points d'intersection).

Piquer en B avec un écartement supérieur à la moitié de [BC] : tracer un arc de chaque côté de [BC].

Piquer en C avec le même écartement : tracer deux arcs qui recoupent les précédents.

Tracer, à la règle, la médiatrice de [BC] : elle coupe la médiatrice de [AB] au point O.

Piquer le compas en O avec un écartement égal à OA : tracer le cercle circonscrit au triangle ABC.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer un angle manquant dans un triangle »

La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°, donc :

\hat{x y z}

\hat{y z x}

\hat{z x y}

= 180°

Donc

\hat{z x y}

= 180° − (… + …) = …

Rédaction type : « Justifier qu'un point est le centre du cercle circonscrit »

O appartient à la médiatrice de [AB] et à la médiatrice de [BC].
Or les médiatrices des côtés d'un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
Donc O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Exercices

Exercice 1

Dans un triangle MNP,

\hat{N M P} = 62 °

\hat{M N P} = 74 °

. Calcule la mesure de l'angle

\hat{M P N}

. Rédige ta réponse.

Exercice 2

Un triangle a deux angles de même mesure 55°. Calcule la mesure du troisième angle.

Exercice 3

Trace un triangle ABC tel que AB = 7 cm, BC = 6 cm et CA = 5 cm. Construis le cercle circonscrit à ce triangle, en laissant apparents tous les traits de construction (arcs de compas, médiatrices).

Exercice 4

Un point O vérifie OA = OB = OC pour un triangle ABC. Explique pourquoi O est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.

Exercice 5

Dans un triangle RST rectangle en S, on donne

\hat{R T S} = 35 °

. Calcule la mesure de l'angle

\hat{S R T}

. Rédige ta réponse.

history_edu Un peu d'histoire

En 1792, en pleine Révolution française, les astronomes Jean-Baptiste Delambre et Pierre Méchain partent chacun de leur côté (l'un vers Dunkerque, l'autre vers Barcelone) pour une mission qui va durer sept ans : mesurer précisément la distance entre les deux villes, afin de définir une nouvelle unité universelle, le mètre. Le mètre est alors fixé comme la dix-millionième partie de la distance entre le pôle Nord et l'équateur, en passant par Paris.

Mais comment mesurer une distance de plus de 1000 km à la fin du XVIII^e siècle, sans GPS ni satellite ? Impossible de tendre un ruban aussi long ! Delambre et Méchain utilisent la triangulation : ils repèrent des points élevés (clochers, collines, tours) tout le long du trajet, et forment ainsi une chaîne de triangles reliant Dunkerque à Barcelone.

En orange : la seule distance mesurée directement (une courte base, sur un terrain plat). Tout le reste se calcule, triangle après triangle.

À chaque triangle, au lieu de mesurer des distances (très difficile sur le terrain), ils mesurent seulement des angles, avec un instrument de précision appelé cercle répétiteur. En ne connaissant qu'un seul côté du premier triangle (la base, mesurée directement) et tous les angles de la chaîne, ils calculent triangle après triangle la longueur de tous les autres côtés, exactement grâce à la propriété que vous venez d'étudier : la somme des angles d'un triangle vaut toujours 180°.

Un détail amusant : les clochers et collines choisis pour la triangulation ne sont jamais exactement alignés sur le méridien, la ligne imaginaire qu'on cherche à mesurer ! Impossible de trouver des points parfaitement alignés sur plus de 1000 km. Pour corriger cela, Delambre et Méchain mesurent en plus, à chaque bout du trajet, la hauteur du Soleil à midi : cela leur donne la position exacte de Dunkerque et de Barcelone sur le globe, et leur permet de calculer précisément quelle portion du méridien leur chaîne de triangles représente, même si le chemin suivi zigzague un peu autour de la ligne idéale.

Le voyage n'est pas de tout repos : Méchain manque plusieurs fois d'être arrêté comme espion (la France est en guerre), et reste obsédé jusqu'à sa mort par une petite erreur de mesure qu'il pense avoir commise. Le mètre, lui, est officiellement adopté en 1799, et sert toujours de référence aujourd'hui, bien que redéfini depuis à partir de la vitesse de la lumière.

Pour aller plus loin

Vidéo : Le mètre : son origine, son histoire, la mesure de la Méridienne et sa valeur actuelle (chaîne J't'explique)

Envie de lire plutôt qu'écouter ? Le mathématicien Denis Guedj (auteur du Théorème du Perroquet) a raconté cette expédition sous forme de roman, La Méridienne.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz