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Symétrie centrale
Géométrie Cours de mathématiques de 5e (cinquième) · chapitre 2 · Définition de la symétrie centrale · Propriétés de la symétrie centrale · Centre de symétrie
Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.
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1
Définition de la symétrie centrale
A
Définition
Symétrie centrale et demi-tour
On dit que deux figures sont symétriques par rapport à un point O lorsque l'une vient se superposer exactement à l'autre après un demi-tour effectué autour de O. Cette transformation s'appelle la symétrie centrale de centre O.
Exemple : un demi-tour autour de O
B
Définition
Symétrique d'un point
Un point A' est le symétrique d'un point A par rapport à un point O lorsque O est le milieu du segment [AA'].
Exemple : le symétrique d'un point
Les petits traits sur [OA] et [OA'] indiquent qu'ils sont codés de même longueur : c'est ce qui prouve que O est le milieu de [AA'].
Remarque : le symétrique de O par rapport à lui-même est O, c'est le seul point que la symétrie centrale laisse à sa place (on dit qu'il est invariant).
2
Propriétés de la symétrie centrale
A
Propriété
Symétrique d'une droite
Le symétrique d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle à la droite de départ. La symétrie centrale conserve l'alignement des points.
Exemple
B
Propriété
Symétrique d'un segment
Le symétrique d'un segment par une symétrie centrale est un segment de même longueur. La symétrie centrale conserve les longueurs.
Exemple
C
Propriété
Symétrique d'un polygone
Le symétrique d'un polygone par une symétrie centrale est un polygone superposable au premier : mêmes longueurs de côtés, mêmes mesures d'angles, même périmètre et même aire.
Exemple
D
Propriété
Symétrique d'un cercle
Le symétrique d'un cercle par une symétrie centrale est un cercle de même rayon, dont le centre est le symétrique du centre de départ.
Exemple
Remarque : pour construire le symétrique d'un arc de cercle, on construit les symétriques de son centre et de ses deux extrémités, puis on trace l'arc qui les relie.
3
Définition
Centre de symétrie
On dit qu'un point O est le centre de symétrie d'une figure lorsque cette figure est sa propre image par la symétrie centrale de centre O (autrement dit, elle se superpose à elle-même après un demi-tour autour de O).
Exemple 1
Lancez le demi-tour : l'hexagone tourne de 180° autour de O et vient se superposer exactement à sa position de départ.
Dans l'hexagone GHIJKL : G a pour symétrique J, H a pour symétrique K, et I a pour symétrique L par rapport à O. Ce polygone admet donc O comme centre de symétrie.
Autres exemples :
- Un parallélogramme WXYZ a pour centre de symétrie le point d'intersection O de ses diagonales [WY] et [XZ].
- Un triangle quelconque n'a pas de centre de symétrie. Un triangle équilatéral, lui, possède trois axes de symétrie, mais toujours aucun centre de symétrie.
warning Piège classique : ne pas confondre la symétrie centrale (demi-tour autour d'un point, la figure « tourne ») avec la symétrie axiale (retournement autour d'une droite, la figure est « retournée comme dans un miroir »). Un bon réflexe : si l'énoncé donne un point, c'est une symétrie centrale ; s'il donne une droite, c'est une symétrie axiale.
draw Méthode
Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).
M
Construire le symétrique d'un point A, au compas et à la règle
1
Je trace la demi-droite [AO) à la règle, en la prolongeant largement au-delà de O.
2
Je pique le compas en A, j'ouvre jusqu'à O, puis je reporte cette longueur OA de l'autre côté de O sur la demi-droite (arc de cercle).
3
Le point où l'arc coupe la droite est A', le symétrique de A : on a bien OA' = OA, avec O entre A et A'.
M
Construire le symétrique d'un point dans un quadrillage
1
Pour aller de A à O, je compte les carreaux : 4 carreaux vers la droite puis 3 carreaux vers le bas.
2
En partant de O, je refais exactement le même déplacement : 4 carreaux vers la droite puis 3 carreaux vers le bas.
3
J'arrive sur A', le symétrique de A par rapport à O : O est le milieu de [AA'].
M
Construire le symétrique d'un segment dans un quadrillage
1
Symétrique de A : de A à O, 4 carreaux vers la droite puis 2 carreaux vers le bas ; depuis O, je refais le même déplacement et j'obtiens A'.
2
Symétrique de B : de B à O, 2 carreaux vers la droite puis 3 carreaux vers le haut ; depuis O, je refais le même déplacement et j'obtiens B'.
3
Je relie A' et B' : le symétrique du segment [AB] est le segment [A'B']. Il a la même longueur que [AB] et lui est parallèle.
M
Construire le symétrique d'une droite dans un quadrillage
1
Je choisis deux points de la droite (d) placés sur des nœuds du quadrillage (croisements des lignes) : A et B.
2
Symétrique de A : de A à O, 5 carreaux vers la droite puis 1 carreau vers le haut ; depuis O, le même déplacement donne A'.
3
Symétrique de B : de B à O, 2 carreaux vers la droite puis 3 carreaux vers le haut ; depuis O, le même déplacement donne B'.
4
Je trace la droite (A'B') : c'est (d'), la symétrique de (d) par rapport à O. Elle est parallèle à (d) (si O était sur (d), (d') serait (d) elle-même).
edit Exercices et rédaction
Rédaction type : « Construire le symétrique d'un point »
O est le milieu du segment [AA'].
Donc A' est le symétrique du point A par rapport au point O.
Donc A' est le symétrique du point A par rapport au point O.
Exercices
Exercice 1
Place un point O et un point M à 4 cm de O. Construis le symétrique M' de M par rapport à O, en laissant apparents les traits de construction.
Exercice 2
ABCD est un parallélogramme de centre O. Explique pourquoi C est le symétrique de A par rapport à O.
history_edu Un peu d'histoire
history_edu Un peu d'histoire
Contrairement à beaucoup d'autres notions de ce cours, la symétrie n'a pas vraiment d'inventeur : elle est utilisée depuis la Préhistoire, bien avant d'être étudiée mathématiquement. On retrouve des motifs symétriques (par rotation, comme la symétrie centrale, ou par réflexion) dans des ornements vieux de plusieurs dizaines de milliers d'années, sur toutes les civilisations. Ce sont les mathématiciens grecs, notamment autour d'Euclide, qui commencent à étudier ces transformations de façon rigoureuse, en s'intéressant en particulier aux propriétés des figures régulières.
Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.
Faire le quiz