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Opérations sur les nombres décimaux

Nombres et calculs Cours de mathématiques de 5e (cinquième) · chapitre 1 · Vocabulaire des opérations · Priorités opératoires · Division euclidienne · Distributivité

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Vocabulaire des opérations

Définitions

Le résultat de l'addition 25 + 6 est la somme des termes 25 et 6.
Le résultat de la soustraction 25 − 6 est la différence des termes 25 et 6.
Le résultat de la multiplication 25 × 6 est le produit des facteurs 25 et 6.
Le résultat de la division 25 ÷ 6 est le quotient de 25 par 6.

Priorités opératoires

Enchaînement d'opérations

Règle

Dans une suite d'opérations, on effectue d'abord les multiplications et les divisions. On dit qu'elles sont prioritaires sur les additions et les soustractions.

Exemple déroulé : B = 2,4 × 3 − 18 : 4 − 1,5

B = 2,4 × 3 − 18 : 4 − 1,5

On effectue d'abord les multiplications et divisions, de gauche à droite : 2,4 × 3 = 7,2.

Règle

Dans une suite d'opérations ne comportant plus que des additions (ou plus que des multiplications), on peut changer l'ordre des termes (ou des facteurs).

Règle

Dans une suite d'opérations ne comportant plus que des additions et des soustractions, ou plus que des multiplications et des divisions, on effectue les opérations de gauche à droite.

Avec des parenthèses

Règle

Dans une suite d'opérations avec des parenthèses, on effectue d'abord les calculs entre parenthèses.

Exemple déroulé : D = 10 − [(9 − 3) × 0,5]

D = 10 − [(9 − 3) × 0,5]

On commence par la parenthèse la plus intérieure.

Remarque : dans une suite d'opérations avec des parenthèses imbriquées (ou des crochets), on commence par effectuer les calculs dans les parenthèses les plus intérieures.

Traduire un programme de calcul en une seule expression

Programme : « Choisir un nombre ; lui ajouter 4 ; multiplier le résultat par 3 ; soustraire 5. »

Avec 2 : on calcule $2 + 4 = 6$ , puis $6 \times 3 = 18$ , puis $18 - 5 = 13$ .
En une seule expression : $(2 + 4) \times 3 - 5 = 13$ . Les parenthèses sont indispensables : sans elles, $2 + 4 \times 3 - 5 = 9$ , car la multiplication est prioritaire.
Nommer le calcul : $(2 + 4) \times 3 - 5$ est une différence ; son premier terme $(2 + 4) \times 3$ est un produit dont les facteurs sont $(2 + 4)$ et 3.

Division euclidienne

Règle

Dans une division euclidienne, on a toujours : dividende = (diviseur × quotient) + reste, avec reste < diviseur.

Exemple posé : la division de 758 par 12

dividende
  758
diviseur
12

              
              ← quotient
            

On prend d'abord le nombre formé par le chiffre des centaines : 7. Comme 7 < 12, ce nombre ne contient pas 12 : il faut prendre un chiffre de plus.

Remarque : à la fin, on retrouve l'égalité 758 = 12 × 63 + 2, avec 2 < 12.

Distributivité

Propriété

Pour tous nombres k, a et b :

k × (a + b) = k × a + k × b

k × (a − b) = k × a − k × b

On dit que la multiplication est distributive sur l'addition et sur la soustraction.

Démonstration : l'aire d'un rectangle découpé en deux

Ce grand rectangle a pour largeur k et pour longueur a + b : son aire est donc k × (a + b).

Or, on peut aussi calculer son aire en additionnant celle des deux morceaux : le rectangle bleu, d'aire k × a, et le rectangle orange, d'aire k × b.

C'est la même aire, calculée de deux façons différentes, donc k × (a + b) = k × a + k × b.

Exemples

Exemple 1 : calcule de deux façons A = 7 × (4 + 6).

Méthode directe : A = 7 × 10 = 70.
Avec la distributivité : A = 7 × 4 + 7 × 6 = 28 + 42 = 70.

On retrouve bien le même résultat par les deux méthodes.

Exemple 2 : calcule de deux façons B = 9 × (12 − 4).

Méthode directe : B = 9 × 8 = 72.
Avec la distributivité : B = 9 × 12 − 9 × 4 = 108 − 36 = 72.

Calculs astucieux

La distributivité permet de calculer plus vite de tête, en faisant apparaître 100 (ou un autre nombre facile à multiplier).

A = 47 × 101
A = 47 × (100 + 1)
A = 47 × 100 + 47 × 1
A = 4 700 + 47
A = 4 747

B = 8 × 99
B = 8 × (100 − 1)
B = 8 × 100 − 8 × 1
B = 800 − 8
B = 792

C = 6 × 102
C = 6 × (100 + 2)
C = 6 × 100 + 6 × 2
C = 600 + 12
C = 612

D = 5 × 98
D = 5 × (100 − 2)
D = 5 × 100 − 5 × 2
D = 500 − 10
D = 490

On l'utilise depuis toujours, en posant les multiplications !

Quand on pose une multiplication, on décompose en réalité l'un des facteurs en dizaines et en unités : c'est encore la distributivité, même si on ne l'écrit pas.

On retrouve exactement la distributivité, avec 23 = 20 + 3 :

23 × 36 = (20 × 36) + (3 × 36) = 720 + 108 = 828.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Construis ton expression par glisser-déposer

La somme de ... et ... La différence de ... et ... Le produit de ... par ... Le quotient de ... par ...

Cliquez un bloc ci-dessus (Somme, Différence, Produit ou Quotient), puis cliquez ici pour le placer

Méthode : traduire une phrase en calcul ("C'est le produit de... par...")

Le produit de a par b, c'est a × b.
La somme de a et b, c'est a + b.
La différence de a et b, c'est a − b.
Le quotient de a par b, c'est a ÷ b.

la somme du produit de 3 par 4 et du quotient de 8 par 2

Je repère l'opération : une SOMME. Le mot-lien qui lui correspond est « et » : je mets les deux en vert ensemble.

le produit de la différence de 17 et 5 par 8

Je repère l'opération : un PRODUIT. Le mot-lien qui lui correspond est « par » -- attention, ne pas confondre avec le « et » de « différence de 17 et 5 », qui appartient à une autre partie. Je mets « produit » et « par » en vert ensemble.

Méthode : calculer avec des priorités et des parenthèses imbriquées

F = 3 × [(8 − 2) × 4 + (5 − 3)] − 10

On repère les parenthèses les plus intérieures : (8 − 2) et (5 − 3).

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Effectuer un calcul avec priorités »

E = 4 + 2 × (7 − 3)On calcule d'abord la parenthèse.

E = 4 + 2 × 4On effectue ensuite la multiplication.

E = 4 + 8Il ne reste que l'addition.

E = 12Résultat final.

Exercices

Exercice 1

Calcule en respectant les priorités opératoires : 6 + 3 × (9 − 5).

Exercice 2

Calcule en respectant les priorités opératoires (attention, pas de parenthèses ici) : A = 5,4 + 3 × 2,5 − 1,6.

Exercice 3

Calcule : C = 20 − [(12 − 4) × 1,5 + 3].

Exercice 4

Pose la division euclidienne de 537 par 23, puis vérifie ton résultat avec l'égalité dividende = (diviseur × quotient) + reste.

Exercice 5

Traduis en une expression numérique, puis calcule sa valeur : « le quotient de la somme de 15 et 9 par 4 ».

Entraînement libre

Exerce-toi : division euclidienne

Indique un dividende et un diviseur (les tiens, ou au hasard) : la division posée se calcule automatiquement.

history_edu Un peu d'histoire

Avant l'invention de l'écriture décimale par Simon Stevin en 1585, poser une addition ou une multiplication avec des parties non entières était bien plus compliqué : il fallait passer par des fractions, avec des dénominateurs différents à mettre au même niveau à chaque étape. Dans son livre La Thiende, Stevin montre justement comment additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres décimaux presque aussi facilement que des nombres entiers, c'est précisément ce gain de simplicité qui a permis à cette écriture de s'imposer aussi vite chez les commerçants et les savants de son époque.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz