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Angles et parallélisme

Géométrie Cours de mathématiques de 5e (cinquième) · chapitre 4 · Paires d'angles particuliers · Angles correspondants, angles alternes-internes · Mesure des angles dans un triangle

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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Paires d'angles particuliers

Angles opposés par le sommet

Définition

Deux angles sont opposés par le sommet lorsqu'ils ont un sommet commun et que leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre.

Les angles $\hat{M O N}$ et $\hat{M^{'} O N^{'}}$ ont pour sommet commun O, et leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre.

Ils sont donc opposés par le sommet, tout comme les angles $\hat{M O N^{'}}$ et $\hat{M^{'} O N}$ .

Propriété

Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.

Exemple :

Sur la figure ci-dessus, si $\hat{M O N} = 35 °$ , alors $\hat{M^{'} O N^{'}} = 35 °$ également. De plus, $\hat{M O N^{'}} = \hat{M^{'} O N} = 145 °$ .

Angles adjacents

Définition

Deux angles sont adjacents lorsqu'ils ont un sommet commun, un côté commun, et qu'ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun.

Les angles $\hat{I O J}$ et $\hat{J O K}$ ont pour sommet commun O, pour côté commun la demi-droite [OJ), et sont placés de part et d'autre de [OJ). Ils sont donc adjacents.

Angles supplémentaires

Définition

Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 180°.

Les angles adjacents $\hat{D O E}$ et $\hat{E O F}$ partagent un angle plat : $\hat{D O E} = 65 °$ et $\hat{E O F} = 115 °$ .

Or, $65 ° + 115 ° = 180 °$ . Ils sont donc supplémentaires.

Remarque : deux angles supplémentaires et adjacents forment un angle plat. Cette propriété peut donc être utilisée pour montrer que des points sont alignés.

Angles correspondants, angles alternes-internes

Définitions

Deux droites (d) et (d') sont coupées par une sécante (s) en deux points A et B. Cela forme huit angles.
Deux de ces angles sont alternes-internes lorsqu'ils sont situés entre (d) et (d'), de part et d'autre de la sécante (s).
Deux de ces angles sont correspondants lorsqu'ils sont situés du même côté de la sécante (s), l'un en A et l'autre en B, à la même place par rapport à leur droite.

En bleu : les angles alternes-internes. En vert : les angles correspondants.

Propriétés 1

Si deux angles alternes-internes ont la même mesure, alors les deux droites coupées par la sécante sont parallèles.
Si deux angles correspondants ont la même mesure, alors les deux droites coupées par la sécante sont parallèles.

Exemple 1 :

Les angles bleus en A et en B sont alternes-internes, déterminés par la sécante (AB) et les droites (d) et (d').

Le codage indique qu'ils ont la même mesure : 47° chacun.

Donc les droites (d) et (d') sont parallèles.

Propriétés 2

Si deux angles alternes-internes sont déterminés par des droites parallèles, alors ils ont la même mesure.
Si deux angles correspondants sont déterminés par des droites parallèles, alors ils ont la même mesure.

Exemple 2 : les droites (d) et (d') sont parallèles. Déplacez le curseur pour incliner la sécante.

Les droites (d) et (d') restent parallèles quel que soit l'angle de la sécante : les angles alternes-internes bleus valent toujours 70° chacun, et les angles correspondants verts valent toujours 110° chacun.

Mesure des angles dans un triangle

Propriété

La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°.

$\hat{I J K} + \hat{J K I} + \hat{K I J} = 180 °$

Démonstration

Étape 1 : On trace la droite parallèle à (JK) qui passe par I.

Exemple : dans le triangle IJK, $\hat{I J K} = 48 °$ et $\hat{J K I} = 67 °$ . Quelle est la mesure de l'angle $\hat{K I J}$ ?

On sait que $\hat{I J K} + \hat{J K I} + \hat{K I J} = 180 °$ .

Donc $\hat{K I J} = 180 ° - (48 ° + 67 °) = 180 ° - 115 ° = 65 °$ .

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : justifier que deux droites sont parallèles à l'aide d'angles alternes-internes

Les droites (AB) et (CD) sont coupées par la sécante (BC).

Ce que je sais : on repère les deux droites concernées et la sécante qui les coupe.

Méthode 2 : calculer une mesure d'angle à l'aide des angles opposés par le sommet

Les angles

\hat{P O Q}

\hat{P^{'} O Q^{'}}

sont opposés par le sommet.

Ce que je sais : on repère deux angles opposés par le sommet.

Méthode 3 : justifier que des points sont alignés à l'aide d'angles supplémentaires

Les angles adjacents

\hat{D O E}

\hat{E O F}

sont tels que

\hat{D O E} = 112 °

\hat{E O F} = 68 °

Ce que je sais.

Méthode 4 : calculer une mesure d'angle inconnue dans un triangle

Dans le triangle RST, on sait que

\hat{R S T} = 54 °

\hat{S T R} = 71 °

Ce que je sais.

Méthode 5 : justifier que deux droites sont parallèles à l'aide d'angles correspondants

Les droites (MK) et (NP) sont coupées par la sécante (MN).

Ce que je sais : on repère les deux droites concernées et la sécante qui les coupe.

Méthode 6 : deux droites parallèles et une sécante, cas des angles correspondants

Les droites (MK) et (NP) sont parallèles, coupées par la sécante (MN).

Ce que je sais.

Méthode 7 : deux droites parallèles et une sécante, cas des angles alternes-internes

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles, coupées par la sécante (BC).

Ce que je sais.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Justifier que deux droites sont parallèles »

Les angles

\hat{A B C}

\hat{B C D}

sont alternes-internes, déterminés par la sécante (BC) et les droites (AB) et (CD).Ce que je sais : on identifie la configuration.

De plus,

\hat{A B C} = \hat{B C D} = 63 °

.Ce que je sais : on relève les mesures égales.

Or, si deux angles alternes-internes ont la même mesure, alors les deux droites coupées par la sécante sont parallèles.On énonce la propriété.

Donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.Conclusion, en appliquant la propriété.

Exercices

Exercice 1

Deux droites se coupent en un point O et forment quatre angles. L'un d'eux mesure 72°. Donne les mesures des trois autres angles.

Exercice 2

Les angles adjacents

\hat{D O E}

\hat{E O F}

forment un angle plat. Sachant que

\hat{D O E} = 110 °

, calcule la mesure de l'angle

\hat{E O F}

Exercice 3

Dans un triangle RST,

\hat{R S T} = 52 °

\hat{S T R} = 79 °

. Calcule la mesure de l'angle

\hat{S R T}

. Rédige ta réponse.

Exercice 4

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles et coupées par la sécante (BC). L'angle

\hat{A B C}

, alterne-interne avec l'angle

\hat{B C D}

, mesure 58°. Quelle est la mesure de l'angle

\hat{B C D}

? Rédige en justifiant.

history_edu Un peu d'histoire

La propriété des angles alternes-internes égaux quand deux droites parallèles sont coupées par une sécante repose sur une règle qu'Euclide avait posée sans démonstration vers 300 av. J.-C. Pendant plus de 2 000 ans, des générations entières de mathématiciens ont cherché, sans succès, à démontrer cette règle à partir des autres. Ce n'est qu'au 19e siècle que Gauss, Bolyai et Lobatchevski découvrent, chacun de leur côté, qu'on peut construire des géométries parfaitement cohérentes où cette règle ne s'applique pas (par exemple à la surface d'une sphère) : c'est la naissance des géométries dites « non euclidiennes ».

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

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