Accueil › Cours de maths 4e › Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore

Géométrie Cours de mathématiques de 4e (quatrième) · chapitre 8 · Carré et racine carrée · Le vocabulaire du triangle rectangle · Le théorème de Pythagore · La réciproque du théorème de Pythagore

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

Ouvrir le chapitre interactif

menu_book Le cours

Carré et racine carrée

Le carré d'un nombre

Définition

Le carré d'un nombre a est le nombre positif

a^{2} = a \times a

Les carrés des premiers nombres entiers (les « carrés parfaits ») sont à connaître :

$a$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
$a^{2}$	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225

Remarques : un carré est toujours positif, par exemple

(- 7)^{2} = 49

. Avec une calculatrice, on utilise la touche

x^{2}

La racine carrée d'un nombre positif

Définition

La racine carrée d'un nombre a positif est le nombre positif, noté

\sqrt{a}

, dont le carré est a. Pour tout nombre a positif :

{(\sqrt{a})}^{2} = a

Propriété 1

Pour tout nombre a positif,

\sqrt{a}

est la longueur du côté d'un carré d'aire a.

Propriété 2

Pour tout nombre a positif,

\sqrt{a^{2}} = a

Exemples :

$\sqrt{36} = 6$ car $6^{2} = 36$ (et 6 est positif) : un carré d'aire 36 a des côtés de longueur 6.
$\sqrt{7^{2}} = \sqrt{49} = 7$ ; $\sqrt{0} = 0$ ; $\sqrt{1} = 1$ .

Remarques : le symbole

\sqrt{}

s'appelle un radical. La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas (aucun carré n'est négatif). Avec une calculatrice (touche

\sqrt{}

), on obtient la valeur exacte ou une valeur approchée :

$\sqrt{56, 25} = 7, 5$ : 7,5 est la valeur exacte de $\sqrt{56, 25}$ (car 7,5 × 7,5 = 56,25) ;
$\sqrt{50} \approx 7, 1$ : 7,1 est une valeur approchée au dixième de $\sqrt{50}$ (la calculatrice affiche 7,071067…). On peut aussi l'encadrer : 49 < 50 < 64, donc 7 < $\sqrt{50}$ < 8.

Le vocabulaire du triangle rectangle

Définitions

Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.
Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est le plus grand côté du triangle rectangle.

RST est un triangle rectangle en S.
[RT], le côté opposé à l'angle droit, est son hypoténuse (en orange).
Les deux autres côtés, [SR] et [ST], sont perpendiculaires : ce sont les côtés de l'angle droit.

Le théorème de Pythagore

L'énoncé

Théorème

Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

ABC est un triangle rectangle en A, d'hypoténuse [BC].
D'après le théorème de Pythagore : $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ .

Astuce : dans l'égalité, l'hypoténuse est seule de son côté du signe =. Une démonstration animée du théorème est dans l'onglet Méthode.

Calculer la longueur de l'hypoténuse

Exemple : GHI est un triangle rectangle en H tel que GH = 4,5 cm et HI = 6 cm. Calculer GI.

Le triangle GHI est rectangle en H : son hypoténuse est [GI].

D'après le théorème de Pythagore :

G I^{2} = G H^{2} + H I^{2}

G I^{2} = 4, 5^{2} + 6^{2}

G I^{2} = 20, 25 + 36

G I^{2} = 56, 25

G I = \sqrt{56, 25} = 7, 5

cmValeur exacte (la calculatrice affiche 7,5).

Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit

Exemple : EFG est un triangle rectangle en F tel que EG = 9 cm et EF = 5 cm. Calculer FG.

Le triangle EFG est rectangle en F : son hypoténuse est [EG].

D'après le théorème de Pythagore :

E G^{2} = E F^{2} + F G^{2}

9^{2} = 5^{2} + F G^{2}

On remplace par les longueurs connues.

F G^{2} = 81 - 25

Pour trouver un côté de l'angle droit, on soustrait.

F G^{2} = 56

F G = \sqrt{56}

cm (valeur exacte) ; FG ≈ 7,5 cm (valeur approchée au dixième).

Prouver qu'un triangle n'est pas rectangle

Exemple : MNP est un triangle tel que MN = 6,5 cm, NP = 7,2 cm et MP = 9,8 cm. Le triangle MNP est-il rectangle ?

Le plus grand côté est [MP] : on calcule séparément.Si MNP était rectangle, [MP] serait son hypoténuse.

M P^{2} = 9, 8^{2}

M P^{2} = 96, 04

M N^{2} + N P^{2} = 6, 5^{2} + 7, 2^{2}

M N^{2} + N P^{2} = 42, 25 + 51, 84

M N^{2} + N P^{2} = 94, 09

Donc

M P^{2} \neq M N^{2} + N P^{2}

.Si MNP était rectangle, on aurait l'égalité (théorème de Pythagore).

Le triangle MNP n'est donc pas rectangle.

La réciproque du théorème de Pythagore

L'énoncé

Théorème (réciproque)

Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. Le plus grand côté est son hypoténuse.

ABC est un triangle tel que $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ .
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A : l'angle droit est le sommet opposé au plus grand côté [BC].

Prouver qu'un triangle est rectangle

Exemple : IJK est un triangle tel que IJ = 6,5 cm, JK = 7,2 cm et IK = 9,7 cm. Démontrer que IJK est rectangle.

Le plus grand côté est [IK] : on calcule séparément.

I K^{2} = 9, 7^{2}

I K^{2} = 94, 09

I J^{2} + J K^{2} = 6, 5^{2} + 7, 2^{2}

I J^{2} + J K^{2} = 42, 25 + 51, 84

I J^{2} + J K^{2} = 94, 09

Donc

I K^{2} = I J^{2} + J K^{2}

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IJK est rectangle en J.J est le sommet opposé au plus grand côté.

Comparez avec le 3 D : les triangles MNP et IJK ne diffèrent que de 1 mm sur le plus grand côté, et pourtant l'un est rectangle et l'autre non ! Une figure ne suffit jamais pour prouver qu'un angle est droit.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : carré et racine carrée

Méthode 2 : pourquoi le théorème est vrai (démonstration animée)

On part d'un triangle rectangle quelconque : a et b sont les côtés de l'angle droit, c est l'hypoténuse. On veut montrer que c² = a² + b².

On place 4 copies de ce triangle dans un grand carré de côté a + b. La partie qui reste (en orange) est un carré de côté c : son aire est c².

On fait glisser trois des triangles, sans les tourner. Ils occupent toujours le même grand carré, et la partie qui reste est maintenant formée de deux carrés : a² (en bleu) et b² (en vert).

Même grand carré, mêmes 4 triangles : ce qui reste a la même aire dans les deux cas. Donc c² = a² + b², pour n'importe quel triangle rectangle !

Méthode 3 : calculer une longueur dans un triangle rectangle

Le triangle ABC est rectangle en A : son hypoténuse est [BC].On cite l'hypothèse et on repère l'hypoténuse.

D'après le théorème de Pythagore :

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

B C^{2} = 4, 5^{2} + 6^{2}

On remplace par les longueurs connues.

B C^{2} = 20, 25 + 36

B C^{2} = 56, 25

B C = \sqrt{56, 25} = 7, 5

cmLa racine carrée tombe juste : c'est la valeur exacte.

Méthode 4 : ce triangle est-il rectangle ?

Le plus grand côté est [EG] : on calcule séparément.Si EFG était rectangle, [EG] serait son hypoténuse.

E G^{2} = 9, 7^{2}

E G^{2} = 94, 09

F G^{2} + E F^{2} = 7, 2^{2} + 6, 5^{2}

F G^{2} + E F^{2} = 51, 84 + 42, 25

F G^{2} + E F^{2} = 94, 09

Donc

E G^{2} = F G^{2} + E F^{2}

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en F.F est le sommet opposé au plus grand côté.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit »

LMN est un triangle rectangle en M tel que LN = 11 cm et LM = 7 cm. Calculer MN, arrondie au dixième.

Le triangle LMN est rectangle en M, son hypoténuse est [LN].On cite l'hypothèse et on repère l'hypoténuse.

D'après le théorème de Pythagore :

L N^{2} = L M^{2} + M N^{2}

On cite le théorème et on écrit l'égalité.

1 1^{2} = 7^{2} + M N^{2}

On remplace par les longueurs connues.

M N^{2} = 121 - 49 = 72

On isole le carré cherché.

M N = \sqrt{72}

cm (valeur exacte), MN ≈ 8,5 cm (au dixième).On prend la racine carrée et on arrondit.

Exercices

Exercice 1

Calcule sans calculatrice :

9^{2}

;

0, 5^{2}

;

\sqrt{81}

;

\sqrt{1 3^{2}}

;

\sqrt{0, 49}

Exercice 2

Encadre

\sqrt{70}

entre deux nombres entiers consécutifs, puis donne sa valeur approchée au dixième.

Exercice 3

PQR est un triangle rectangle en Q. Nomme son hypoténuse et écris l'égalité de Pythagore.

Exercice 4

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 20 cm et AC = 21 cm. Calcule BC.

Exercice 5

DEF est un triangle rectangle en E tel que DF = 8 cm et DE = 3,5 cm. Calcule EF, arrondie au dixième.

Exercice 6

Ces triangles sont-ils rectangles ? a) côtés 11 cm, 60 cm et 61 cm ; b) côtés 5 cm, 7 cm et 9 cm.

Exercice 7

Une échelle de 5 m est posée contre un mur vertical. Son pied est à 1,4 m du mur. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ?

Exercice 8

Pour vérifier que deux murs sont perpendiculaires, un maçon mesure 60 cm le long d'un mur, 80 cm le long de l'autre (à partir du coin), puis la distance entre les deux marques : il trouve 1 m. Les murs sont-ils perpendiculaires ?

history_edu Un peu d'histoire

history_edu Un peu d'histoire : le théorème appartient-il vraiment à Pythagore ?

Réponse courte : non, pas vraiment ! La relation entre les côtés d'un triangle rectangle était connue plus de mille ans avant Pythagore, sur plusieurs continents. Mais la démonstration, qui prouve que c'est vrai pour tous les triangles rectangles, est bien une idée grecque. Voici l'enquête :

vers 1800 av. J.-C. · Babylone (Irak actuel)

Des scribes gravent dans l'argile des calculs qui utilisent déjà la relation : la tablette YBC 7289 (ci-dessous) donne la diagonale d'un carré de côté 30, et la tablette Plimpton 322 dresse une liste de triangles rectangles à côtés entiers, comme 119, 120 et 169 (119² + 120² = 169²). Mais aucune démonstration n'y figure.

? · Égypte ancienne

On raconte souvent que les arpenteurs égyptiens, les « tendeurs de corde », traçaient des angles droits avec une corde à 13 nœuds formant un triangle 3-4-5. C'est une jolie légende : aucun document égyptien connu ne le prouve.

vers 800-500 av. J.-C. · Inde

Les Śulba-sūtras, des manuels pour construire les autels du feu, énoncent la règle : la corde tendue le long de la diagonale d'un rectangle produit autant (d'aire) que les deux côtés réunis.

vers 570-495 av. J.-C. · Grèce : Samos, puis Crotone (Italie)

Pythagore fonde une école où l'on étudie les nombres. Il n'a rien écrit ! Ce sont des auteurs venus des siècles plus tard qui lui attribuent le théorème, et racontent qu'il aurait sacrifié cent bœufs pour fêter sa découverte, une légende peu crédible pour un maître réputé végétarien… Ses disciples ont peut-être été les premiers à le démontrer en général, pour tous les triangles rectangles.

vers 300 av. J.-C. · Alexandrie (Égypte)

Euclide écrit ses Éléments : c'est la plus ancienne démonstration qui nous soit parvenue (livre I, proposition 47). La réciproque, que tu utilises aussi, est la proposition suivante, la 48.

vers le 1er siècle av. J.-C. · Chine

Le Zhoubi suanjing présente le « théorème du gou-gu » avec une figure, le xian tu (ci-dessous) : un puzzle qui démontre le théorème pour le triangle 3-4-5. C'est la même idée que la démonstration animée de l'onglet Méthode.

1525 · Allemagne

Le symbole √ apparaît dans un livre de Christoph Rudolff. On pense que c'est un « r » déformé, pour radix (« racine » en latin).

1876 et 1940 · États-Unis

James Garfield, futur président des États-Unis, publie sa propre démonstration. En 1940, Elisha Loomis en rassemble 367 dans un livre : c'est l'un des théorèmes les plus démontrés de l'histoire !

Tablette YBC 7289 (université Yale), vers 1800 av. J.-C. : côté 30, et sur la diagonale 1;24,51,10 en base 60, soit 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ ≈ 1,414 213, une valeur de √2 juste au millionième ! La diagonale vaut 30 × √2 ≈ 42;25,35.

Le xian tu chinois : dans le carré 7 × 7, les 4 triangles rouges ont des côtés 3 et 4. Le carré jaune du milieu a une aire de 49 − 4 × 6 = 25 : son côté (l'hypoténuse) mesure 5, et 5² = 3² + 4².

Alors, pourquoi « Pythagore » ? Parce que les mathématiciens grecs ont été les premiers, à notre connaissance, à démontrer des résultats au lieu de les constater sur des exemples, et que la tradition a donné le nom du maître le plus célèbre. En Chine, on parle d'ailleurs encore aujourd'hui du « théorème du gou-gu » !

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz