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Fractions : multiplication et division

Nombres et calculs Cours de mathématiques de 4e (quatrième) · chapitre 7 · Multiplier des fractions · Diviser par une fraction

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Multiplier des fractions

Le produit de deux fractions

Propriété

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Pour tous nombres a, b, c et d, avec b et d non nuls :

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}

Remarque : avec b = 1, la formule devient

a \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{d}

. Elle permet de calculer une fraction d'une quantité (voir l'exemple 2) : « prendre les

\frac{c}{d}

de a », c'est calculer

\frac{c}{d} \times a

Exemple 1 : calculer $A = - \frac{26}{45} \times \frac{27}{65}$ et donner le résultat sous forme irréductible.

A = - \frac{26 \times 27}{45 \times 65}

Un seul facteur négatif : le résultat est négatif. On n'effectue pas encore les produits !

A = - \frac{2 \times 13 \times 3 \times 9}{5 \times 9 \times 5 \times 13}

On décompose pour faire apparaître les facteurs communs : 13 et 9.

A = - \frac{2 \times 3}{5 \times 5}

On simplifie.

A = - \frac{6}{25}

On calcule : la fraction obtenue est irréductible.

Exemple 2 : un collège compte 630 élèves, dont les $\frac{4}{9}$ sont demi-pensionnaires. Combien y a-t-il de demi-pensionnaires ?

N = \frac{4}{9} \times 630

On prend les 4/9 de 630 : 630 = 9 × 70.

N = \frac{4 \times 630}{9}

N = \frac{4 \times 9 \times 70}{9}

N = 280

Il y a 280 demi-pensionnaires.On conclut par une phrase.

Exemple 3 : une fraction d'une fraction. Léa mange les $\frac{2}{3}$ des $\frac{3}{4}$ restants d'un gâteau.

G = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}

Elle a mangé la moitié du gâteau entier.

G = \frac{2 \times 3}{3 \times 2 \times 2}

G = \frac{1}{2}

Les produits en croix

Propriété 1

Pour tous nombres a, b, c et d, avec b et d non nuls : si

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

, alors

a \times d = b \times c

.
On dit que les produits en croix sont égaux.

Exemple 1 : trouver le nombre x tel que $\frac{x}{28} = \frac{63}{36}$ .

Les fractions sont égales, donc les produits en croix sont égaux :

x \times 36 = 28 \times 63

On « croise » : numérateur de l'une × dénominateur de l'autre.

x = \frac{28 \times 63}{36}

On divise par 36.

x = \frac{1 764}{36}

x = 49

Vérification :

\frac{49}{28} = \frac{7}{4}

\frac{63}{36} = \frac{7}{4}

Propriété 2 (réciproque)

Pour tous nombres a, b, c et d, avec b et d non nuls : si

a \times d = b \times c

, alors

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

Exemple 2 : les fractions $\frac{51}{85}$ et $\frac{75}{125}$ sont-elles égales ?

51 × 125 = 6 375 et 85 × 75 = 6 375.On calcule les produits en croix.

Les produits en croix sont égaux, donc

\frac{51}{85} = \frac{75}{125}

.On applique la propriété 2.

Exemple 3 : et $\frac{14}{33}$ et $\frac{17}{40}$ ?

14 × 40 = 560 et 33 × 17 = 561.Les produits en croix sont différents (de 1 seulement !).

Donc

\frac{14}{33} \neq \frac{17}{40}

.Si les fractions étaient égales, les produits en croix le seraient (propriété 1).

Diviser par une fraction

L'inverse d'un nombre

Propriétés

Tout nombre x non nul admet un inverse (noté $x^{- 1}$ ), qui est le nombre $\frac{1}{x}$ .
Toute fraction $\frac{a}{b}$ , avec a et b non nuls, admet pour inverse la fraction $\frac{b}{a}$ : on « retourne » la fraction.

Pourquoi ? Soit une fraction $\frac{a}{b}$ , avec a et b non nuls.

\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = \frac{a \times b}{b \times a} = 1

Deux nombres sont inverses l'un de l'autre quand leur produit vaut 1.

Exemples :

L'inverse de $\frac{- 7}{12}$ est $\frac{12}{- 7} = - \frac{12}{7}$ : un nombre et son inverse ont le même signe.
L'inverse de 5 est $\frac{1}{5}$ ; l'inverse de 0,25 = $\frac{1}{4}$ est 4.

Attention : ne pas confondre inverse et opposé ! L'opposé de

\frac{3}{4}

est

- \frac{3}{4}

(leur somme vaut 0), son inverse est

\frac{4}{3}

(leur produit vaut 1). Le nombre 0 n'a pas d'inverse.

Le quotient de deux fractions

Propriété

Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse.
Pour tous nombres a, b, c et d, avec b, c et d non nuls :

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}

ou encore, avec une fraction « à étages » :

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}

Exemple 1 :

B = \frac{9}{10} \div \frac{3}{4}

B = \frac{9}{10} \times \frac{4}{3}

On multiplie par l'inverse.

B = \frac{3 \times 3 \times 2 \times 2}{2 \times 5 \times 3}

On décompose et on simplifie.

B = \frac{6}{5}

Exemple 2 :

C = \frac{- \frac{14}{15}}{\frac{21}{10}}

C = - \frac{14}{15} \times \frac{10}{21}

On multiplie par l'inverse de 21/10.

C = - \frac{2 \times 7 \times 2 \times 5}{3 \times 5 \times 3 \times 7}

On simplifie par 7 et par 5.

C = - \frac{4}{9}

Exemple 3 :

D = 12 \div \frac{3}{5}

D = 12 \times \frac{5}{3}

On multiplie par l'inverse.

D = \frac{3 \times 4 \times 5}{3}

12 = 3 × 4.

D = 20

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : voir un produit de fractions, pas à pas

On veut calculer les 2/3 de 4/5. Le rectangle représente l'unité.

On partage le rectangle en 5 bandes verticales égales et on en colorie 4 : c'est 4/5 de l'unité.

On partage en 3 bandes horizontales égales et on prend 2 bandes sur 3 de la partie colorée : ce sont les 2/3 des 4/5.

L'unité est découpée en 3 × 5 = 15 petits rectangles ; la partie prise en compte 2 × 4 = 8. Donc 2/3 × 4/5 = (2 × 4)/(3 × 5) = 8/15.

Méthode 2 : simplifier avant de multiplier

E = \frac{15}{28} \times (- \frac{14}{25})

On veut calculer E et donner le résultat sous forme irréductible.

Méthode 3 : comprendre pourquoi diviser, c'est multiplier par l'inverse

Diviser 3 par un nombre, c'est chercher « combien de fois » ce nombre est contenu dans 3. Voici 3 unités.

On coupe chaque unité en quarts : il y a 3 × 4 = 12 quarts dans 3. Donc 3 ÷ 1/4 = 12, c'est-à-dire 3 × 4 : diviser par 1/4, c'est multiplier par 4.

On regroupe les quarts par paquets de 3 : chaque paquet vaut 3/4. On obtient 4 paquets.

Donc 3 ÷ 3/4 = 4. Et 3 × 4/3 = 12/3 = 4 : diviser par 3/4, c'est bien multiplier par son inverse 4/3.

Méthode 4 : multiplier ou diviser deux fractions, rédaction complète

A = \frac{- 26}{45} \times \frac{27}{65}

On veut calculer ce produit.

A = - \frac{26 \times 27}{45 \times 65}

1 nombre négatif : le résultat est négatif. On n'effectue pas encore les produits.

A = - \frac{2 \times 13 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 13}

On décompose en facteurs premiers et on simplifie par les facteurs communs (13, 3, 3).

A = - \frac{6}{25}

On calcule : la fraction est irréductible.

Méthode 5 : utiliser les produits en croix

\frac{x}{28} = \frac{63}{36}

On cherche le nombre x.

x × 36 = 28 × 63Les fractions sont égales, donc les produits en croix sont égaux.

36 × x = 1 764On calcule le produit connu.

x = 1 764 ÷ 36 = 49On divise par le nombre qui multiplie x.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Calculer un quotient de fractions »

F = - \frac{8}{15} \div \frac{4}{- 9}

On veut le résultat sous forme irréductible.

F = - \frac{8}{15} \times \frac{- 9}{4}

On multiplie par l'inverse de la deuxième fraction.

F = \frac{8 \times 9}{15 \times 4}

Deux facteurs négatifs : le résultat est positif.

F = \frac{2 \times 4 \times 3 \times 3}{3 \times 5 \times 4}

On décompose et on simplifie par 4 et par 3.

F = \frac{6}{5}

On calcule : la fraction est irréductible.

Exercices

Exercice 1

Calcule et donne le résultat sous forme irréductible :

A = \frac{3}{7} \times \frac{14}{9}

;

B = - \frac{5}{6} \times \frac{9}{10}

;

C = \frac{- 4}{15} \times \frac{- 25}{8}

Exercice 2

Un réservoir de 60 L est rempli aux

\frac{3}{4}

. On utilise les

\frac{2}{5}

de son contenu. Combien de litres a-t-on utilisés ?

Exercice 3

Donne l'inverse de chacun de ces nombres : 7 ;

- \frac{3}{8}

; 0,25 ; −1. Lequel est égal à son inverse ?

Exercice 4

Calcule et donne le résultat sous forme irréductible :

D = \frac{5}{6} \div \frac{10}{9}

;

E = - 12 \div \frac{4}{7}

;

F = \frac{7}{- 8} \div \frac{- 21}{16}

Exercice 5

Calcule

G = \frac{\frac{9}{14}}{\frac{15}{28}}

et donne le résultat sous forme irréductible.

Exercice 6

Détermine le nombre x dans chaque cas : a)

\frac{x}{12} = \frac{15}{20}

; b)

\frac{35}{x} = \frac{14}{6}

Exercice 7

Ces fractions sont-elles égales ? a)

\frac{57}{76}

\frac{45}{60}

; b)

\frac{23}{37}

\frac{69}{112}

Exercice 8

Tom dépense le quart de son argent de poche en livres, puis les deux tiers de ce qui lui reste au cinéma. a) Quelle fraction de son argent de poche lui reste-t-il ? b) Il avait 48 € : combien lui reste-t-il ?

history_edu Un peu d'histoire

Les calculs sur les fractions sont très anciens : le grand livre chinois des Neuf chapitres sur l'art du calcul (rédigé il y a environ 2 000 ans) explique déjà comment les multiplier et les diviser, ainsi que la « règle de trois », ancêtre de nos produits en croix. En Inde, au 9e siècle, le mathématicien Mahāvīra énonce clairement la règle que tu utilises aujourd'hui : pour diviser par une fraction, on la retourne et on multiplie. Quant à la notation

x^{- 1}

de l'inverse, elle vient des exposants négatifs, introduits au 17e siècle par l'Anglais John Wallis et popularisés par Isaac Newton :

x^{- 1} = \frac{1}{x}

x^{- 2} = \frac{1}{x^{2}}

… Tu les retrouveras dans le chapitre sur les puissances !

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz