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Rotation

Géométrie Cours de mathématiques de 3e (troisième) · chapitre 5 · Qu'est-ce qu'une rotation ? · L'image d'un point · Ce que conserve une rotation

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Qu'est-ce qu'une rotation ?

Définition

Lorsqu'on fait tourner une figure ℱ₁ autour d'un point O, d'un angle de mesure α, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, elle se superpose à une figure ℱ₂.
On dit que ℱ₂ est l'image de ℱ₁ par la rotation de centre O et d'angle α.

Remarques :

Dans tout ce chapitre, on tourne toujours dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé sens trigonométrique (ou sens direct).
Le point A tourne autour de O pour venir en B : B est l'image de A.
La rotation de centre O et d'angle 180° est la symétrie centrale de centre O (un demi-tour).
Le centre O ne bouge pas : il est sa propre image.

L'image d'un point

Propriété

Soient O et M deux points distincts. L'image du point M par la rotation de centre O et d'angle α est le point M′ tel que :

OM′ = OM et

\hat{M O M^{'}} = α

(M′ est obtenu en tournant de α dans le sens inverse des aiguilles d'une montre).

Autrement dit, M′ est sur le cercle de centre O passant par M : quand on tourne autour de O, on reste à la même distance de O. La construction à la règle, au compas et au rapporteur est animée dans l'onglet Méthode.

Ce que conserve une rotation

Propriété

Par une rotation, une figure et son image se superposent. La rotation conserve donc les longueurs, l'alignement, les aires, les milieux et la mesure des angles.

Exemple : le quadrilatère A′B′C′D′ est l'image de ABCD par la rotation de centre O et d'angle 70°.

Les deux quadrilatères ont les mêmes longueurs de côtés, donc le même périmètre, et la même aire.
J est le milieu du segment [BC], donc son image J′ est le milieu du segment [B′C′].
L'angle $\hat{A^{'} B^{'} C^{'}}$ est l'image de l'angle $\hat{A B C}$ : ils ont la même mesure.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : faire tourner une figure

90°

Angle 90° : un quart de tour. [OA] et [OA′] sont perpendiculaires, et OA = OA′.

Méthode 2 : construire l'image d'un point

Le point M et le centre O sont donnés (des croix : ce sont des points libres du plan).

Méthode 3 : trouver l'angle d'une rotation dans une figure régulière

Les six triangles OAB, OBC, … sont équilatéraux et identiques.

Dans un hexagone régulier, les angles au centre sont égaux.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Construire l'image d'un point par une rotation »

On trace la demi-droite [OM).1. On relie le centre au point.

Avec le rapporteur centré en O, on mesure l'angle α à partir de [OM), dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, et on trace la demi-droite obtenue.2. On reporte l'angle.

Avec le compas, on reporte la longueur OM sur cette demi-droite, à partir de O.3. OM′ = OM.

On nomme M′ le point obtenu : c'est l'image de M.4. On nomme le point.

Exercices

Exercice 1

Dans le quadrillage ci-dessous, on tourne autour du point O (sens inverse des aiguilles d'une montre). a) Quelle est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle 90° ? b) par celle d'angle 180° ? c) Quelle est l'image de B par la rotation de centre O et d'angle 90° ?

Exercice 2

ABCDEF est un hexagone régulier de centre O (sommets nommés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre). a) Quelle est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle 60° ? b) Par quelle rotation de centre O le triangle OAB a-t-il pour image le triangle OCD ?

Exercice 3

Le triangle RST a pour côtés RS = 5 cm, ST = 4 cm et RT = 6 cm, et l'angle

\hat{R S T}

mesure 82°. Son aire est d'environ 9,9 cm². On construit son image R′S′T′ par une rotation. Que peut-on dire de R′S′, de l'angle

\hat{R^{'} S^{'} T^{'}}

et de l'aire de R′S′T′ ?

Exercice 4

Les points K, L, M sont alignés et L est le milieu de [KM]. On construit leurs images K′, L′, M′ par la rotation de centre O et d'angle 45°. Que peut-on dire des points K′, L′ et M′ ?

Exercice 5

La rotation de centre O et d'angle 180° a un autre nom. Lequel ? Où se trouve l'image M′ d'un point M par cette rotation ?

Exercice 6

Une rosace a 5 pétales identiques régulièrement répartis autour de son centre O. Quel est le plus petit angle d'une rotation de centre O qui la laisse inchangée ? Cite trois autres angles qui conviennent.

Exercice 7

De quel angle tourne la grande aiguille d'une montre en 15 minutes ? en 20 minutes ? Dans quel sens tourne-t-elle ?

Exercice 8

Vrai ou faux ? Justifie. a) Le centre d'une rotation est sa propre image. b) L'image d'un carré par une rotation est un carré de même aire. c) Par une rotation d'angle 90°, un segment et son image sont parallèles.

history_edu Un peu d'histoire

Pourquoi un tour complet mesure-t-il 360 degrés ? On le doit aux astronomes de Babylone, il y a plus de 3 000 ans. Ils comptaient en base 60 (c'est pour cela qu'une heure compte 60 minutes, et une minute 60 secondes) et observaient que le Soleil semble faire le tour du ciel en à peu près 360 jours. Le nombre 360 a aussi l'avantage d'avoir énormément de diviseurs (2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20…) : on peut partager un tour en parts égales entières de bien des façons. Les rotations sont partout autour de nous : aiguilles d'une montre, roues, éoliennes, manèges… et dans l'art, avec les rosaces des cathédrales, qui restent identiques quand on les fait tourner d'un certain angle autour de leur centre.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz